Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

1. Máximo común divisor.

   Podríamos definir el máximo común divisor de varios números (m.c.d), como el mayor número que divide a todos ellos exactamente. Por ejemplo:

   Tenemos los números: 24, 18 y 12.

   Los números que lo dividen exactamente a los tres son 1, 2, 3, y 6. Los cuatro números indicados son divisores, pero el m.c.d será 6 porque es el mayor de todos. En este caso hemos podido averiguar el m.c.d por simple inspección (fijándonos en los divisores del menor de ellos que también lo sean de los demás), pero habrá otras ocasiones en que no pueda ser así. Para hallar el m.c.d en estos casos podremos emplear dos métodos.

a) Cálculo del m.c.d por el algoritmo de Euclides: En este caso se dividen un número por otro; si sólo son dos números el mayor por el menor y si son varios escogeremos primero los dos menores y dividiremos igualmente el mayor de ellos por el menor. Si la división no es exacta, se divide el divisor anterior por el resto obtenido, realizando esta misma operación hasta que obtengamos un residuo igual a 0. Si sólo hemos buscado el m.c.d de esos dos números, éste será el último divisor empleado. Si se trata de buscar el m.c.d de más de dos números volveremos a realizar esta operación entre el siguiente número y el m.c.d obtenido, y así sucesivamente hasta acabar con todos los números. El último divisor utilizado que nos dé una división exacta será el m.c.d de todos. Veamos un ejemplo:  

Operaciones con polinomios. Regla de Ruffini.

1. Conceptos  generales.

   Antes de entrar de lleno en las operaciones con polinomios, vamos a recordar algunos conceptos básicos referentes a nomenclatura algebraica.

.

   Llamaremos término a una expresión algebraica que incluye uno o varios símbolos no separados entre sí por los signos + o -. En la expresión anterior el signo "+" no forma parte del término algebraico, pero nos indica el inicio del mismo.

Ángulos II. Perpendicularidad y paralelismo.

1. Perpendicularidad.

  Dos rectas que se cortan formando cuatro ángulos iguales son perpendiculares entre si. Cada uno de los ángulos creados por la intersección de dichas rectas formará un ángulo recto de 90º. Si las rectas al cortarse no forman ángulos iguales se dice que son oblicuas.

   Como hemos enunciado antes dos rectas perpendiculares lo son entre si, es decir si una recta es perpendicular a otra, esta también es perpendicular a la primera. Este carácter de la perpendicularidad entre dos rectas se llama reciprocidad.

Logaritmos vulgares o de Briggs (de base 10)

1. Introducción a los logaritmos.

   Logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado.

   Así pues el logaritmo de base 3 de 1 es 0, el logaritmo de base 3 de 3 es 1, el logaritmo de base 3 de 9 es 2, ....  Lo expresaremos de la siguiente manera:

Progresiones aritméticas.

1. Introducción.

  Llamamos serie a una sucesión de términos formados de acuerdo con una ley. Al aplicar dicha ley a cada término obtendremos el término siguiente. Así pues si la ley es "sumar 5" y el primer término de la serie es 2 tendremos la serie 2, 7, 12, 17, 22 ....

  Una progresión aritmética es aquella serie en la que cada término se obtiene del anterior sumándole una cantidad constante llamada razón o diferencia.

   La razón se halla restándole a cualquier término el término anterior. Así pues en la progresión aritmética...

                     

  ... para hallar la razón bastaría restar 8 - 6 = 2 por ejemplo. O también 12 - 10 = 2.

Ecuaciones de segundo grado II. Trinomio de segundo grado

1.Introducción a la teoría de las ecuaciones de segundo grado.

   Antes de abordar este capítulo recomiendo primero estudiar el apartado dedicado a las ecuaciones de segundo grado con una incógnita, para su mayor comprensión.

   Como ya deberíamos saber, las ecuaciones generales de segundo grado tienen dos raíces y sólo dos, aunque en algunos casos ambas raíces son iguales. Pero ¿de qué va a depender el valor y carácter de estas raíces?. Lo vemos:

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

1. Concepto general de ecuación de 2º grado.

   Una ecuación de segundo grado es aquella en la que el mayor exponente de su incógnita es dos.

   En los ejemplos anteriores las tres ecuaciones son de segundo grado. Las dos primeras no ofrecen duda. Si simplificamos la tercera veremos que nos queda una ecuación cuyo máximo exponente de la incógnita "x" es dos, por lo que también es una ecuación de segundo grado.

  Las consideraremos completas si tienen un término "x" al cuadrado, uno en "x" y uno independiente de "x". Son incompletas si no tienen término en "x" o término independiente.

   En los ejemplos anteriores la primera y la tercera son ecuaciones de segundo grado completas y la segunda es incompleta, pues carece de término en "x".

Radicación algebraica.

1. Concepto general de raíz.

   Llamamos raíz de una expresión algebraica a otra expresión algebraica que elevada a una potencia resulta la expresión primera. 

   El signo utilizado para calcular la raíz de una expresión se llama radical. Dentro de él se coloca la expresión sobre la cual se pretende hallar la raíz. A esta expresión la denominamos cantidad subradical. Encima del radical colocamos el índice que indica la potencia a la que hay que elevar la raíz para que se reproduzca la cantidad subradical. El conjunto de todos estos elementos es lo que llamamos expresión radical. Veamos un ejemplo de todo ello:

Potenciación algebraica. El binomio de Newton

1. Concepto general de potencia algebraica.

   Podemos definir una potencia algebraica como la forma simplificada de escribir una multiplicación cuyos factores son la misma expresión algebraica repetida un numero determinado de veces. Así pues si tomamos como ejemplo la expresión algebraica 3a y la multiplicamos por si misma varias veces tendremos las siguientes potencias:

   El exponente de la potencia indica las veces que se repite la expresión como factor en la multiplicación. Así pues la primera expresión elevada a 0, indica que la expresión no aparece ninguna vez como factor, por lo tanto el resultado es la unidad (todo número elevado a 0 es igual a 1). 

   Pongamos ahora, como ejemplo, la misma expresión algebraica en negativo, es decir - 3a:

8 ejemplos de ecuaciones de primer grado con una o dos incógnitas

Ecuación 1.

8 ejemplos de problemas de ecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas.

En este capítulo plantearemos ocho problemas sobre ecuaciones de primer grado con una o dos incógnitas. Empezaremos con problemas sencillos e iremos subiendo el nivel de dificultad en cada uno de ellos.

   Pondremos especial atención en el planteamiento del problema, principal objetivo de este capítulo, pues aunque hagamos bien las operaciones, si el problema está mal planteado, las soluciones no serán las deseadas.

   Hay problemas que se pueden plantear como una ecuación de una incógnita y a la vez, como una ecuación de dos incógnitas. Los cinco primeros problemas los plantearemos como ecuaciones de una incógnita y los tres restantes como ecuaciones de dos incógnitas, ya sean indeterminadas o sistemas.

¡¡¡ Vamos allá !!! 

Problema 1.

   Hallar 4 números enteros consecutivos cuya suma sea 74.

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Representación gráfica

1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

   Una ecuación de primer grado con dos incógnitas, es aquella que, como su nombre indica, posee dos incógnitas diferentes (normalmente x e y) que tienen como mayor exponente la unidad. Por ejemplo.

 2x - 3y = 11

   Una sola ecuación con dos incógnitas es indeterminada, pues el valor de cada incógnita dependerá del que tenga la otra, siendo así las posibles soluciones a ambas infinitas.

   Dos o más ecuaciones de primer grado con dos o más incógnitas son simultaneas cuando, considerándolas de manera conjunta, se satisfacen para iguales valores de sus incógnitas. Según la cantidad de valores que puedan adoptar la incógnitas serán determinadas (un único valor común para cada incógnita) o indeterminadas (múltiples valores ilimitados comunes para cada incógnita). Por ejemplo.

2x - 3y = 11

x +  y =  19

Ecuaciones indeterminadas. Representación gráfica.

1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

    Una ecuación de primer grado es aquella en la que el mayor exponente de sus incógnitas es la unidad. Por ejemplo.

                     

    De todas las ecuaciones de primer grado expuestas, sólo la tercera y la cuarta son ecuaciones de primer grado con dos incógnitas representadas por la x y la y. En este texto nos centraremos en las ecuaciones indeterminadas de primer grado con dos incógnitas (3). Los sistemas de ecuaciones (4) ,por su extensión, serán tratados en un tema aparte. Suponemos que el lector ya conoce los conceptos principales de lo que es una ecuación y como solucionarlas. Si no es así les recomiendo que vean el enlace ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.

Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.

1. Concepto General de ecuación.

     Podemos decir que una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se cumple para determinados valores de dichas incógnitas. Estas incógnitas que no conocemos vienen representadas normalmente por las últimas letras del alfabeto;  x, y, z ... Veamos un ejemplo. 

2x + 3 = 11



  

   En este caso tenemos una ecuación que dice que un número que no conocemos (la incógnita "x") multiplicado por dos y sumándole tres será igual a once.  Esta igualdad sólo se cumplirá si el valor de la incógnita x es 4. 

                                               

                                                             2 · (4) + 3 = 11

                                                                    8 + 3 = 11

                                                                         11= 11

  Así pues 4 es la solución o raíz de la ecuación.

   Vamos a ver de que partes consta una ecuación.

  

• Miembros: Son cada una de las expresiones que se encuentran a cada lado del signo igual.
• Incógnita: Valor desconocido de la ecuación que hemos de hallar para que se cumpla la igualdad..
• Términos: Son cada una de las cantidades que están conectadas a otras por los signos + o -, o que se encuentran solas en un miembro. Los términos que no llevan incógnita se llaman términos independientes.

 

Representación gráfica de funciones y ecuaciones.

1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianas.

 

Un sistema rectangular de ejes de coordenadas cartesianas, llamado así en honor a Descartes, está formado por dos líneas rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en un punto formando cuatro ángulos rectos.

　

    La línea recta horizontal XOX- es el eje de las x o eje de abscisas. La línea recta vertical YOY- es el eje de las y o eje de las ordenadas. El punto O donde se cruzan ambas, es lo que llamamos origen de las coordenadas y divide el eje de las abscisas en dos semiejes, positivo hacia su derecha y negativo hacia su izquierda, e igualmente en dos semiejes al eje de las ordenadas, positivo hacia arriba y negativo hacia abajo.

   Cualquier punto representado dentro del sistema rectangular de ejes, vendrá definido por sus coordenadas cartesianas que están formadas por su abscisa (distancia del punto al eje de las ordenadas ) y por su ordenada (distancia del punto al eje de las abscisas).

    La anotación empleada para indicar un punto es (x, y), donde x es la abscisa e y la ordenada.

    Como podemos ver, el sistema queda dividido en cuatro secciones llamadas cuadrantes.

Criterios de divisibilidad.

   Existen ciertos criterios que nos permiten conocer a primera vista si un número es divisible por otro . Vamos a conocer los más importantes.

Nota: Es interesante conocer los teoremas principales sobre múltiplos y divisibilidad para entender mejor algunos conceptos que aquí se explican. Al final encontraras varios enlaces sobre el tema.

Divisibilidad por 10.

   Sabemos que cuando dividimos un número entre una potencia de 10, para hallar el cociente debemos mover en dicho número la coma decimal hacia la izquierda tantos dígitos como ceros tiene la potencia. Por ejemplo:

1.258 : 10 = 125,8

1.258 : 100 = 12,58

1.258 : 1.000 = 1,258

1.258 : 10.000 = 0,1258

   Así pues, podemos decir que un número será divisible por una potencia de 10, cuando los decimales que se generen en el cociente sean únicamente ceros.

10.000 : 10 = 1.000,0 = 1.000

10.000 : 100 =  100,00 = 100

10.000 : 1.000 = 10,000 = 10
25.230 : 10 = 2.523,0 = 2.523

  Luego:

• Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.
• Un número es divisible por 100 cuando termina en 00.
• Un número es divisible por 1000 cuando termina en 000.
• etc....

Números primos y compuestos.

1. Concepto general de número primo y número compuesto.

   Podemos definir número primo como aquel número que sólo es divisible por la unidad y por si mismo. Son números primos por ejemplo:

                                                                      2, 3, 5, 7 ......

   Número compuesto es aquel que aparte de por si mismo y la unidad, también puede ser dividido por uno o varios números más. Por ejemplo:

                                                              4, 6, 8, 9, 10, 12 .....

   Como podemos observar 4 además de poderse dividir por 4 y 1 también puede ser dividido por 2. El número 12 puede ser dividido por 12, 6, 4, 3, 2 y 1 por lo que lo definiremos igualmente como número compuesto.

   El número 1 no está considerado como número primo y mucho menos como compuesto. Si atendemos a su definición más simple, un número primo tiene exactamente dos divisores, la unidad y él mismo, y el 1 sólo tiene un divisor (1). Existen muchas más razones para considerar el número 1 como no primo, pero serán objeto de estudio en otros capítulos. 

   Para averiguar si un número es primo lo dividiremos por todos los números primos menores que él ordenadamente de menor a mayor (empezamos por 2, 3, 5, 7...). Si alguna división fuera exacta podemos descartar que se trate de un número primo, pues esto nos indicaría que es múltiplo de otro número. Seguiremos realizando las divisiones mientras sean inexactas y hasta que el cociente sea menor o igual al divisor. Al llegar a este caso podemos afirmar que estamos tratando con un número primo. Pongamos un ejemplo para entenderlo mejor:

  
Sea el número 149. Veamos si es un número primo. Comenzamos dividiendo por 2.
                                                               

Múltiplos y divisores.

1. Concepto de múltiplo y divisor.

   Múltiplo de un número es aquel que lo contiene una cantidad exacta de veces. Así pues por ejemplo, 12 es múltiplo de 3 porque lo contiene 4 veces exactamente:

                                                        12 = 3 x 4 = 3 + 3 + 3 + 3

   Para indicar que un número es múltiplo de otro podemos hacerlo de dos maneras:

                                                        a = m. de b (12 = m. de 3)

   Los múltiplos de un número se forman multiplicándolo por la serie infinita de números naturales, así pues podemos afirmar que todo número tiene infinitos múltiplos.

  

                                                              Múltiplos de 3

                                                                  0 x 3 =   0
                                                                  1 x 3 =   3
                                                                  2 x 3 =   6
                                                                  3 x 3 =   9
                                                                  4 x 3 = 12
                                                                  5 x 3 = 15
                                                                  6 x 3 = 18

                                                                          etc...

 

Los números.

1. Los números. Introducción.

   Podemos definir los números como símbolos que utilizamos para representar cantidades. Según su naturaleza podemos englobar los números en diferentes grupos. Veámoslo en forma de esquema.

Ángulos. Introducción (1)

1. Introducción. Conceptos generales.

   Podemos definir un ángulo como el espacio plano que se forma entre dos semirrectas que tienen un mismo origen llamado vértice. Las dos semirrectas constituyen los lados del ángulo.

   Existen varias formas de designar a un ángulo;  en nuestro caso utilizaremos el signo < seguido de tres letras mayúsculas de manera que la situada en el centro representará el vértice.

Segmentos.

1. Introducción. Conceptos primitivos.

   Antes de entrar de lleno en el tema de los segmentos, tenemos que abordar una serie de conceptos iniciales, indispensables dentro del estudio de la geometría en general. Es lo que llamamos los conceptos primitivos de la geometría y son el punto, la recta y el plano.

   Cada uno de estos tres conceptos no tienen una definición concreta, sino que se adquieren intuitivamente a través de una idea.

1. El punto: La idea o conocimiento de lo que es un punto la obtenemos al observar por ejemplo un grano de arena, la huella que deja la punta de un lápiz en un papel, etc. El punto geométrico es imaginado tan pequeño que carece de dimensión. Como lo podemos representar en el espacio diremos que la cantidad de puntos es infinita.

   Los puntos se designan por letras mayúsculas y se representan mediante dos trazos que se cortan, un circulo pequeño o una cruz.