1. Concepto de múltiplo y divisor.
12 = 3 x 4 = 3 + 3 + 3 + 3
Para indicar que un número es múltiplo de otro podemos hacerlo de dos maneras:
a = m. de b (12 = m. de 3)
Los múltiplos de un número se forman multiplicándolo por la serie infinita de números naturales, así pues podemos afirmar que todo número tiene infinitos múltiplos.
Múltiplos de 3
0 x 3 = 01 x 3 = 3
2 x 3 = 6
3 x 3 = 9
4 x 3 = 12
5 x 3 = 15
6 x 3 = 18
etc...
El 0 es múltiplo de todos los números pues cualquier número multiplicado por 0 da como resultado 0. Igualmente podemos afirmar que todo número es múltiplo de si mismo, pues cualquier número multiplicado por la unidad da el mismo número.
Submúltiplo, factor o divisor de un número es el que está contenido en él una cantidad exacta de veces. Así pues, por ejemplo, 3 es submúltiplo de 12 porque está contenido en él 4 veces exactas.
La unidad es divisor de todos los números ya que cualquier número dividido por uno da el mismo número exactamente.
Todo número es divisor de si mismo, dando como cociente la unidad exacta, y siendo a la vez su mayor divisor (excepto para el 0 que dividido por cualquier número da 0).
Todo número es divisor de si mismo, dando como cociente la unidad exacta, y siendo a la vez su mayor divisor (excepto para el 0 que dividido por cualquier número da 0).
2. Propiedades de los múltiplos.
I. La suma o la diferencia de los múltiplos de un número también es múltiplo de dicho número.
Sean los números a, b y c tal que:
Sean los números a, b y c tal que:
a = m. de n -------> a = q · n
b = m. de n -------> b = q' · n
c = m. de n -------> c = q'' · n
Siendo q, q' y q'' tres números diferentes, que al multiplicarlos por n dan como resultado a, b y c respectivamente, vamos a probar que si a, b y c son múltiplos de n, la suma de a + b + c también será múltiplo de n.
Lo primero que haremos será sumar miembro a miembro las igualdades de a, b y c.
a + b + c = q·n + q'·n + q''·n
Seguidamente extraeremos n como factor común en la suma del segundo miembro.
a + b + c = n · ( q + q' + q'')
Podemos ver que la suma a + b + c, contiene a n la cantidad de (q + q' + q'') veces, por lo que queda demostrado que a + b + c es múltiplo de n.
Vamos a verlo con un ejemplo práctico.
sean los números 9, 12 y 18 que son múltiplos de 3.
9 = 3 · 3 ; 9 = m. de 3
12 = 4 · 3; 12 = m. de 3
18 = 6 · 3 ; 18 = m. de 3
9 + 12 + 18 = (3 · 3) + (4 · 3) + (6 · 3)
Extraemos el 3 como factor común en el segundo miembro.
9 + 12 + 18 = 3 · (3 + 4 + 6)
9 + 12 + 18 = 3 · 13
39 = 3 · 13 ; 39 = m. de 3
Así pues, 39 es múltiplo de 3 porque lo contiene exactamente 13 veces.
Vamos a demostrarlo con la diferencia:
Sean los números a y b múltiplos de n tal que:
a = m. de n -------> a = q · n
b = m. de n -------> b = q' · n
a - b = q · n - q' · n
a - b = n · (q - q')
Lo que nos indica, como ya vimos en la suma, que n · (q - q') es múltiplo de n y por lo tanto a - b también lo es.
Veámoslo con un ejemplo:
21 = 7 · 3 = m. de 3
12 = 4 · 3 = m. de 3
21 - 12 = 7 · 3 - 4 · 3
21 - 12 = 3 · (7 - 4)
21 - 12 = 3 · 3
9 = 9 = m. de 3
II. Para que un producto sea múltiplo de un número es suficiente que uno de los factores sea múltiplo de dicho número.
Sea los números a, b y c tal que sólo a es múltiplo de n:
a = m. de n ; a = q · n
Seguidamente realizaremos la multiplicación de a, b y c , demostrando que su producto también es múltiplo de n..
a · b · c = q · n · b · c
a · b · c = n · (q · b · c) = m. de n ,
a · b · c es múltiplo de n porque la contiene la cantidad de (q · b · c) veces.
a · b · c es múltiplo de n porque la contiene la cantidad de (q · b · c) veces.
Vamos a verlo con un ejemplo:
21 = 7 · 3 = m. de 3
5 no es m. de 3
11 no es m. de 3
21 · 5 · 11 = 7 · 3 · 5 · 11
21 · 5 · 11 = 3 · (7 · 5 · 11) = m. de 3
1.155 = 3 · 385 = m. de 3
1.155 = 1.155 = m. de 3
III. Si un número es múltiplo de otro sus potencias también lo son:
Sean los números a y q tal que.
Veamos un ejemplo:
IV. El múltiplo del múltiplo de un número también es múltiplo suyo.
Sea el número a múltiplo de n y el número b múltiplo de a.
a = m. de n ; a = q · n
b = m. de a ; b = k . a
Vamos a demostrar que como b es múltiplo de a, también lo será de n.
b = k · a
b = k · (q · n)
b = k · q · n
b = n · (q · k)
Se demuestra que b es múltiplo de n porque la contiene (q · k) veces.
Veamos un ejemplo.
15 = 5 · 3 = m. de 3
75 = 5 · 15 = m. de 15
75 = 5 · 15
75 = 5 · (5 · 3)
75 = 5 · 5 · 3
75 = 3 · (5 · 5)
75 = 3 · 25 = m. de 3
Podemos ver que 75 también es múltiplo de 3 porque lo contiene 25 veces (3 · 25 = 75).
3. Teoremas de la divisibilidad.
I. Todo número que divide a otros tantos también divide a su suma.
Sea un número n que divide a los números a, b y c.
a : n = q
b : n = q'
b : n = q'
c : n = q''
Siendo a, b y c los dividendos, n el divisor y q, q' y q'' los cocientes podemos afirmar que el dividendo es igual al producto entre el divisor y el cociente ...
a = n · q ; a = m. de n
b = n · q' ; b = m. de n
a = n · q ; a = m. de n
b = n · q' ; b = m. de n
c = n · q'' ; c = m. de n
... y esto nos lleva a la teoría I. de los múltiplos.
... y esto nos lleva a la teoría I. de los múltiplos.
Si demostramos en ella que la suma de a + b + c era múltiplo de n, igualmente queda demostrado que n es divisor de la suma de a + b + c, porque la divide en (q + q' + q'') partes iguales.
a + b + c = n · ( q + q' + q'')
II. Todo número que no divide a otros tantos, divide a su suma si la suma de los residuos resultantes de dividir éstos entre el número que no los divide es divisible por este número.
Un poco lioso ¿no?. Vamos a explicarlo.
Sea un número n que no divide exactamente a los números a, b y c tal que:
Demostraremos que si r + r' + r'' es divisible por n, entonces a + b + c también lo es.
Podemos decir que ...
a = (n · q) + r
b = (n · q') + r'
c = (n · q'') + r''
c = (n · q'') + r''
r, r' y r'' representan los residuos de cada división, q, q' y q'' el cociente de cada división y n el divisor que es común en las tres divisiones. Vemos que n no es submúltiplo de a, ni b ni de c, pues la división de cada uno de ellos por n no es exacta al haber un residuo, r, que es diferente de 0.
Suponemos para demostrar el teorema que la suma de los residuos es divisible por n o lo que es lo mismo que la suma es múltiplo de n.
r + r' + r'' = m. de n.
Primero realizaremos la suma de las igualdades de a + b +c
a + b + c = (n · q) + r + (n · q') + r' + (n · q'') + r''
Organizamos el segundo miembro para facilitar la comprensión.
a + b + c = (n . q) + (n · q') + (n · q'') + r + r' + r''
Extraemos n como factor común.
a + b + c = n· (q + q' + q'') + (r + r' + r'')
Vemos que el primer término del segundo miembro n·(q + q' + q'') es divisible por n porque está contenido en él (q + q' + q'') veces. Suponemos que (r + r' + r'') también es divisible por n según el enunciado del teorema, por lo que la suma de ambos términos también será divisible por n, como nos demostraba el teorema I. visto en el apartado anterior.
Así pues, por la relación de igualdad queda demostrado que la suma a + b + c también es divisible por n.
Veámoslo con un ejemplo práctico.
Sean 15, 23 y 32 tres números que no son divisibles por 7.
19 = 7 · 2 + 5
27 = 7 · 3 + 6
31 = 7 · 4 + 3
La suma de los residuos es divisible por 7 ;
5 + 6 + 3 = 14 ; 14 : 7 = 2
Vamos a ver como aunque 19, 27 y 31 no son divisibles por 7, su suma si que lo será, pues la suma de los residuos de estos números da como resultado un múltiplo de 7.
19 + 27 + 31 = (7 · 2) + 5 + (7 · 3) + 6 + (7 · 4) + 3
19 + 27 + 31 = (7 · 2) +(7 · 3) + (7 · 4) + 5 + 6 + 7
19 + 27 + 31 = (7 · 2) +(7 · 3) + (7 · 4) + 5 + 6 + 7
19 + 27 + 31 = 7·( 2 + 3 + 4) + 5 + 6 + 3
19 + 27 + 31 = 7·(9) + (5 + 6 + 3)
19 + 27 + 31 = 63 + 14
Podemos ver que el primer sumando del segundo miembro es divisible por 7 (63 : 7 = 9 ) y que el segundo sumando también es divisible por 7 ( 14 : 7 = 2), así que su suma
(63 + 14 = 77) también tiene que ser divisible por 7 (77 : 7 = 11) .III. Si un número divide a todos los sumandos menos a uno, no divide a su suma.
Supongamos tres números a, b y c en los que sólo a y b son divisibles por n.
a = q · n
b = q' · n
c = q'' · n + r
Al no ser c divisible por n, se genera un residuo, r, que habrá que sumar al producto
q'' · n para que el resultado sea c. No pasa lo mismo con a y b ya que el resto es 0.
Procederemos a realizar la suma de a, b y c y comprobar el teorema.
a + b + c = q · n + q' · n + q'' · n + r
a + b + c = n (q + q' + q'') + r
Vemos que el primer sumando del segundo miembro n · (q + q' + q'') es divisible por n porque está contenido en él (q + q' + q'') veces. En cambio el segundo miembro, r, no es divisible por n pues resulta del residuo de una división (c : n) que tiene como divisor a n y por lo tanto será un número comprendido entre 1 y n - 1.
Si observamos la última expresión vemos que se trata de una simple división inexacta donde el dividendo es a + b + c, el divisor es n, el cociente (q + q' + q'') y el residuo r que es a la vez el mismo residuo de c : n
Veámoslo con un ejemplo:
Sean los números 18, 24 que son divisibles por 6 y 34 que no lo es.
18 = 6 · 3
24 = 6 · 4
34 = 6 · 5 + 4
Realizamos la suma de las igualdades.
18 + 24 + 34 = (6 · 3) + (6 · 4) + (6 · 5) + 4
18 + 24 + 34 = 6 · (3 + 4 + 5) + 4
76 = (6 · 12) + 4
Como vemos el término (6 · 12) del segundo miembro es divisible por 6 porque lo contiene 12 veces (72 = 6 · 12), en cambio el segundo término (4) no lo es y coincide con el residuo de la división 34 : 6.
Así pues la suma 18 + 24 + 34 (76) no es divisible por 6 porque da un residuo igual a 4.
IV. Todo número que divide a otro divide a sus múltiplos.
Sea el número n que divide a b. y sea el número c múltiplo de b.
b : n = q ; b = q · n
c = b · k
Sustituimos b en la segunda expresión.
c = q · n · k
c = n · (q · k)
Vemos que c ,que es múltiplo de b, es divisible también por n porque la contiene (q · k) veces.
Ejemplo:
Sea el número 12 que es divisible por 4 y el número 72 que es múltiplo de 12.
12 : 4 = 3 ; 12 = 4 · 3
72 = 12 · 6
72 = (4 · 3) · 6
72 = 4 · (3 · 6)
72 = 4 · 18
72 : 4 = 18
Queda demostrado que 72 es divisible por 4 porque lo contiene 18 veces.
V. Todo número que divide a otros dos divide a su diferencia.
Sean los números a y b divisibles por n.
a : n = q ; a = n · q ; a = m. de n
b : n = q' ; b = n · q' ; b = m. de n
realizamos la diferencia entre a y b.
a - b = (n · q) - (n · q')
a - b = n · (q - q')
Queda demostrado que la diferencia de a - b también es divisible por n porque la contiene q - q' veces.
Veamos el ejemplo:
Sean dos números 32 y 24, ambos divisibles por 4.
32 : 4 = 8 ; 32 = 8 · 4 ; 32 = m. de 4
24 : 4 = 6 ; 24 = 6 · 4 ; 24 = m. de 4
Realizamos la diferencia de ambos.
32 - 24 = (8 · 4) - (6 · 4)
32 - 24 = 4 · (8 - 6)
8 = 4 · 2 = m. de 4
8 : 4 = 2
Vemos que la diferencia (8) también es divisible por 4 porque lo contiene 2 veces exactamente.
VI. Todo número que no divide a otros dos, divide a su diferencia, si lo residuos que resultan de las divisiones son iguales.
Sean los números a y b que no son divisibles exactamente por n, por lo que no son múltiplos de n y la división entre ellos genera un residuo, que serán iguales según el enunciado del teorema.
a = (n · q) + r
b = (n · q') + r
Efectuamos su diferencia.
a - b = (n · q) + r - [(n · q') + r]
Al tener un signo menos delante del corchete cambiamos los signos de los términos que se encuentran dentro.
a - b = (n · q) + r - (n · q') - r
a - b = (n · q) - (n · q') + r - r
a - b = (n · q) - (n · q') + r - r
a - b = (n · q) - (n · q')
a - b = n · (q - q')
Vemos que a - b es divisible por n porque la contiene q - q' veces exactamente.
VII. Todo número que divide al dividendo y al divisor de una división inexacta también divide al residuo.
Sean un número a que no es divisible por b, por lo que su división genera un residuo r, y sea un número n que divide a y b exactamente. Vamos a demostrar que n también es divisor de r.
a = (b · c) + r
Despejamos la r
r = a - (b · c)
Sabemos que a y b son divisibles por n y por lo tanto múltiplos suyos.
a : n = q ; a = n · q
b : n = q' ; b = n · q'
Sustituiremos a y b en la expresión anterior.
r = (n · q) - [(n · q') · c]
r = (n · q) - (n · q' · c)
r = n · [q - (q' · c)]
Como vemos r es divisible por n porque la contiene q - (q' · c) veces exactamente.
Existen varios teoremas más sobre la divisibilidad, pero he escogido los principales pues el resto pueden considerarse como derivados de los aquí expuestos.
Nota: En las demostraciones algebraicas no hemos de confundir los siguientes dos términos.
No hay comentarios:
Publicar un comentario