Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

1. Máximo común divisor.

   Podríamos definir el máximo común divisor de varios números (m.c.d), como el mayor número que divide a todos ellos exactamente. Por ejemplo:

   Tenemos los números: 24, 18 y 12.

   Los números que lo dividen exactamente a los tres son 1, 2, 3, y 6. Los cuatro números indicados son divisores, pero el m.c.d será 6 porque es el mayor de todos. En este caso hemos podido averiguar el m.c.d por simple inspección (fijándonos en los divisores del menor de ellos que también lo sean de los demás), pero habrá otras ocasiones en que no pueda ser así. Para hallar el m.c.d en estos casos podremos emplear dos métodos.

a) Cálculo del m.c.d por el algoritmo de Euclides: En este caso se dividen un número por otro; si sólo son dos números el mayor por el menor y si son varios escogeremos primero los dos menores y dividiremos igualmente el mayor de ellos por el menor. Si la división no es exacta, se divide el divisor anterior por el resto obtenido, realizando esta misma operación hasta que obtengamos un residuo igual a 0. Si sólo hemos buscado el m.c.d de esos dos números, éste será el último divisor empleado. Si se trata de buscar el m.c.d de más de dos números volveremos a realizar esta operación entre el siguiente número y el m.c.d obtenido, y así sucesivamente hasta acabar con todos los números. El último divisor utilizado que nos dé una división exacta será el m.c.d de todos. Veamos un ejemplo:  

   Este método de Euclides se basa en la teoría de que "todo número que divide al dividendo y al divisor de una división inexacta, también divide al resto" y por lo tanto el m.c.d será el mayor de los divisores comunes del dividendo y divisor al que se llegará cuando el resto sea 0. Vamos a demostrarlo:

                            

    Hemos de tener en cuenta que tanto el dividendo como el divisor y el resto de una división, contendrán un número determinado de veces al m.c.d. Como el resto será el menor de los tres, si lo utilizamos para dividir el divisor, que será el segundo menor, y repetimos esta operación continuamente, llegará un momento en que el último resto diferente de 0, coincidirá con el m.c.d. Veámoslo gráficamente con los números 21 y 15.

 

b) Cálculo del m.c.d por descomposición de factores primos: Lo primero que haremos será descomponer los números en factores primos y los expresaremos factorialmente. El m.c.d será el producto de los factores comunes en todos los números, elevados al menor exponente de cada uno. Veamos el ejemplo con los números utilizados anteriormente:

   Si no existieran factores comunes, el m.c.d sería 1, indicando que los números son primos entre sí.

2. Propiedades del máximo común divisor.

a) Los divisores comunes a varios números son únicamente los divisores de su m.c.d: Está claro que el m.c.d es el mayor de los divisores de varios números, lo que ya implica que no encontraremos un divisor común a dichos números mayor que él. Sea "d" el m.c.d de "a", "b" y "c" tal que:

a = d · x

b = d · x'

c = d · x''

Descomponemos "d" en sus factores primos...

d = p · n · s

Vamos a demostrar que p, n y s también son divisores comunes a a, b y c. Sustituiremos el valor de "d" en las igualdades anteriores...

                           a = (p · n · s) · x  =  p · (n · s · x)  = n · (p · s · x)  = s · (p · n · x)

                           b = (p · n · s) · x'  = p · (n · s · x') = n · (p · s · x')  = s · (p · n · x')

                           c = (p · n · s) · x'' = p · (n · s · x'') = n · (p · s · x'') = s · (p · n · x'')

Queda demostrado que tanto p, n y s que son los divisores del m.c.d de a, b y c también son divisores de cada uno de ellos. 

b) Si multiplicamos o dividimos varios números por otro, su m.c.d quedará multiplicado o dividido por dicho número: Sean a, b y c tres números cuyo m.c.d es d.

a = d · x

b = d · x'

c = d · x''

Multiplicamos a, b y c por n y sustituimos su valor por el de las igualdades anteriores...

a · n = d · x ·n

b · n = d · x' · n

c · n= d · x'' · n

El m.c.d es el producto de los factores comunes a los tres números elevados a su menor potencia....

m.c.d (an, bn, cn) =d · n

Y como vemos el m.c.d queda multiplicado por n.

El mismo resultado obtendremos si lo multiplicamos por 1/n, es decir si lo dividimos por n.

c) Al dividir varios números por su m.c.d, los cocientes obtenidos son primos entre sí. Sean los números a, b y c que descompondremos en factores primos.

a = d · q · s

b = d · p · y

c = d · p · q

El m.c.d de a, b y c será d, pues es el único factor común en los tres números ( p sólo está en b y c, y q en a y c) y el de menor grado.

Seguidamente dividimos a, b y c por su m.c.d, es decir d:

a : d = (d · q · s) : d = q · s

b : d = (d · p · y) : d = p · y

c : d = (d · p · q) : d = p · g

m.c.d (a/d , b/d , c/d) = 1

¡Exacto! No hay ningún factor común que se repita en los tres números, por tanto su m.c.d es 1, lo que nos indica que son primos entre sí. 

3. Mínimo común múltiplo.

El mínimo común múltiplo (m.c.m) es el menor de todos los múltiplos comunes a varios números, excluyendo el 0. Por ejemplo:

Tenemos los números 4, 6 y 8. Son múltiplos comunes a los tres 24, 48, 72...

El m.c.m será el menor de ellos, o sea 24.

Para hallar el m.c.m de varios números lo primero que haremos será descomponer cada uno de ellos en factores primos, expresándolos factorialmente. El m.c.m será el producto de los factores comunes y no comunes, seleccionando el que esté elevado a su mayor exponente.

Veamos un ejemplo:

4. Propiedades del mínimo común múltiplo.

a) Todo múltiplo común de varios números, también lo es de su m.c.m: Esto es así por que los factores primos del m.c.m estarán incluidos dentro de los factores primos de dicho múltiplo, a parte de otros, por lo que también será múltiplo del m.c.m. Vamos a demostrarlo: 

b) Si varios números son primos entre sí, su producto es el m.c.m de todos ellos: Si varios números son primos entre sí, quiere decir que no tienen ningún factor primo en común. Entonces al escoger los factores comunes y no comunes para hallar el m.c.m tendremos que cogerlos a todos, dando como resultado el producto de dichos números. Vamos a demostrarlo:

Sean a, b y c tres números primos entre sí.

a = x · y · z

b = m · n

c = p · q · r

m.c.m (a, b , c) = x · y · z · m · n · p · q · r

Vamos a demostrar que el producto de a, b y c es igual que el m.c.m:

a · b · c =  x · y · z · m · n · p · q · r

x · y · z · m · n · p · q · r =   x · y · z · m · n · p · q · r

Quedando demostrada la propiedad.

c) Si un número es múltiplo de otro será el m.c.m de ambos: Si un número es múltiplo de otro será por fuerza el menor múltiplo de ambos. Vamos a demostrarlo:

Sean los números a y b, tal que b es múltiplo de a. 

a = x · y · z

b = n · a = n · x · y · z

Si b es múltiplo de a, quiere decir que lo contiene un número determinado de veces (n).

m.c.m (a, b) = x · y · z · n = b

Queda demostrada la propiedad.

d) Si se multiplican o dividen varios números por otro, su m.c.m queda múltiplicado o dividido por el mismo número: Vamos a demostrarlo.

e) El producto del m.c.m por el m.c.d de dos números es igual al producto de dichos números: Vamos a demostrarlo.

5. Ejercicios resueltos.

Ejercicio 1.

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

6. Programas.

   En el apartado Programas o en pulsando aquí, podrás acceder a un programa en hoja de cálculo Excel, donde podrás localizar el m.c.m y m.c.d de dos números dados.

   

   El programa calcula em m.c.d a través del sistema de divisiones sucesivas de Euclides. Seguidamente calcula el m.c.m a traves de la fórmula m.c.m = (nº 1 x nº 2) / m.c.d. 

   La hoja de cálculo acepta números bastante elevados ( aunque tiene un tope dentro de las divisiones sucesivas hasta la columna AZ). Si el m.c.m no cupiera en su celda, aparecerían los símbolos "######". En este caso colocando el cursor sobre los símbolos nos aparecerá el m.c.m en pantalla.