Matrices

 

1.   Definición y estructura de una matriz.

 

Podemos definir una matriz como un conjunto de números reales ordenados en filas (i) y columnas (j). La cantidad de filas y columnas que contenga la matriz nos indicará su dimensión. Así pues, una matriz de m filas y n columnas será una matriz de dimensión m x n.

Todas las matrices se representan a través de una letra mayúscula. Por ejemplo, la siguiente matriz…

 

            

… Es la matriz A de dimensión 4 x 3, porque tiene 4 filas y 3 columnas.

 

Los números incluidos dentro de una matriz se llaman elementos y estarán contenidos entre dos paréntesis ( ) o dos corchetes [ ]. Los elementos se designarán con la misma letra que hemos utilizado para nombrar la matriz, pero en minúscula, y acompañada por dos subíndices (i, j) que nos indicarán el cruce entre la fila (i) y la columna (j).

Así pues, en la matriz anterior, el número marcado….

              

… es el elemento a₃₂, porque está en la tercera fila y segunda columna. Siempre se indicará                     primero la fila y después la columna.

 

 

2.   Clasificación de las matrices.

 

Vamos a ver algunos tipos de matrices:

 

a)      Vector fila: Son aquellas matrices que están formadas únicamente por 1 fila y n columnas.

                                            

La matriz C es un vector fila, porque está formada por 1 fila y 5 columnas. La designamos de la siguiente manera para indicar su dimensión C_1x5.

 

b)      Vector columna: Son aquellas matrices que están formadas únicamente por 1 columna y m filas.

                                                                     

                La matriz D_4x1 es un vector columna, porque está formado por 1 columna y 4 filas.

 

c)       Matriz cuadrada: Es aquella matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n.

                                        

La matriz F_3x3 es una matriz cuadrada porque tiene 3 filas y 3 columnas. Se dice que es una matriz cuadrada de orden 3.

Cabe destacar que el conjunto de los elementos donde i = j (es decir la fila y la columna son iguales) forman la diagonal principal. En F la diagonal principal la forman los elementos f₁₁, f₂₂ y f₃₃.

                                        

Por otro lado, el conjunto de elementos donde i + j = orden + 1, forman la diagonal secundaria. La matriz F es de orden 3, por lo tanto todos los elementos donde  i + j = 3 + 1,       (i + j = 4) formarán la diagonal secundaria. Esto se cumple para los elementos f₁₃, f₂₂ y f₃₁.

 

                       

 

d)      Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y además coinciden término a término.

En este caso podemos decir que A = B ya que ambas son de dimensión 2 x 3 y se cumple que a_ij = b_ij

 

e)      Matriz triangular superior: Es aquella matriz cuadrada en la que los elementos situados por debajo de la diagonal principal son nulos.

 

                           

 

f)       Matriz triangular inferior: Es aquella matriz cuadrada en la que los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos.

 

                                              

              

 

g)      Matriz diagonal: Es aquella matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal principal son nulos.

 

                        

 

h)      Matriz escalar: Es aquella matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

 

                   

 

i)        Matriz identidad: Es aquella matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Esta matriz se representa con la letra I y se puede añadir el subíndice, si es necesario, indicando su orden.

 

                  

 Por lo dicho hasta aquí, comprendemos que una matriz identidad, además es escalar, diagonal y cuadrada.

j)        Matriz Nula: Es aquella matriz en la que todos sus elementos son iguales a cero.

 

                      

         

k)      Matriz transpuesta: La matriz transpuesta A^t de la matriz A es aquella que se obtiene al cambiar en A las filas por columnas y viceversa. Se puede indicar de la manera A^t o A’.

                    

 

l)      Matriz simétrica: Una matriz A es simétrica si se cumple que A = A^t . Como es de suponer, para que una matriz sea simétrica deberá ser necesariamente cuadrada.

                                 

 

 

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3.   Operaciones con matrices.

                 3.1 La suma de Matrices

             Para que dos matrices puedan sumarse es indispensable que tengan la misma dimensión.

La suma de dos matrices, A y B de dimensiones m x n, da como resultado una nueva matriz, A+B, de igual dimensión m x n, cuyos elementos son la suma de los términos que ocupan la misma posición en las matrices A y B:  (a_ij)_m,n + (b_ij)_m,n = (a_ij + b_ij)_m,n

                Ejemplo:

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               3.2 Producto de una matriz por un escalar

La multiplicación de una matriz A por un escalar o número k da como resultado una nueva matriz, de igual dimensión que A, cuyos elementos son el producto de cada elemento de A por k:

k · (a_ij)_m,n = (k · a_ij)_m,n

                    

                                

                                Ejemplo:

                            Pulsa aquí para acceder al video explicativo en Youtube

                3.3 Producto de matrices.

La multiplicación de dos matrices, A · B, puede realizarse si los vectores fila de A tienen la misma cantidad de elementos que los vectores columna de B. Para expresarlo de una forma más sencilla, diremos que dos matrices pueden multiplicarse si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda.

A_mxn · B_pxq ; es posible solo si n = p.

Ejemplo:

A_5x3 · B_3x2 : La multiplicación es posible, ya que el nº de columnas de A es 3 y el de filas de B también es 3.

A_2x4 · B_3x2 : La multiplicación no  es posible, ya que el nº de columnas de A es 4 y el de filas de B  es 3. 

 

La matriz resultante de un producto de matrices tendrá como dimensión el nº de filas de la primera y el de columnas de la segunda. En el ejemplo anterior:

A_5x3 · B_3x2 : La matriz producto A · B tendrá 5 filas y 2 columnas: (A · B)_5x2

El producto de dos matrices A · B es otra matriz C cuyos elementos se obtienen multiplicando cada vector fila de A por cada uno de los vectores columna de B, de tal manera que se multiplicarán los elementos que tengan la misma posición en dichos vectores término a término y se sumarán los resultados. El valor final obtenido en cada una de las operaciones ocupará la posición: vector fila de A, vector columna de B en la matriz producto:

A = (a_ij) _m,n ; B = (b_jk) _n,p ; A · B = C = (c_ik) _m,p

Podemos efectuar las operaciones en el orden que queramos, siempre que coloquemos el resultado en la posición correcta de la matriz producto.

En el siguiente ejemplo realizaremos las operaciones en el siguiente orden:

vector fila 1 de A x Vector columna 1 de B = Término 1, 1 de C

vector fila 2 de A x Vector columna 1 de B = Término 2, 1 de C

vector fila 1 de A x Vector columna 2 de B = Término 1, 2 de C

vector fila 2 de A x Vector columna 2 de B = Término 2, 2 de C

vector fila 1 de A x Vector columna 3 de B = Término 1, 3 de C

vector fila 2 de A x Vector columna 3 de B = Término 2, 3 de C

_{... y de la siguiente manera...}

Ejemplo:

.

.

.

Ejemplo 1: Supongamos las dos matrices A y B

 

 Hallar A · B y B · A:

 

A · B: Primero vamos a ver si se pueden multiplicar y cuál será la dimensión de la matriz producto.

Como vemos, la multiplicación de A · B es posible, y el resultado será una matriz de dimensiones 1 x 1, o sea, de un único término. Esto es así porque multiplicamos cada fila de A por cada columna de B y como solo hay una fila en A y una columna en B, el resultado es un solo término.

 

B · A: Primero vamos a ver si se pueden multiplicar y cuál será la dimensión de la matriz producto.

 

Como vemos, la multiplicación de B · A también es posible. Sin embargo,  el resultado será una matriz de dimensiones 3 x 3. Esto es así porque multiplicamos cada fila de B por cada columna de A y como solo hay 3 filas en B y 3 columnas en A, el resultado es una Matriz de 3 x 3.

 

 Visto que A · B no nos ofrece el mismo resultado que B · A, podemos asegurar que la multiplicación de matrices generalmente no cumple la propiedad conmutativa: A · B ≠ B · A.

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4. Propiedades de las operaciones con matrices.

4.1 Propiedades de la suma de matrices.

Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)

Conmutativa: A + B = B + A

Elemento neutro: A_m,n + 0_m,n = A_m,n ; siendo 0_m,n una matriz donde todos sus elementos son ceros.

Matriz opuesta: A_m,n + (– A_m,n) = 0_m,n ; siendo A = (a_ij) y –A = (-a_ij)

                               a_ij + (-a_ij) = a_ij – a_ij = 0_ij

Por ejemplo:

                              

4.2 Propiedades del producto de escalares por matrices.

Asociativa: k · (p · A) = (k · p) · A

Distributiva: k · (A + B) = k · A + k · B

                     ( k + p) · A = k · A + p · A

4.3 Propiedades del producto de matrices.

Asociativa: A_m,n · (B_n,p · C_p,q) = (A_m,n · B_n,p) · C_p,q

Distributiva: A_m,n · (B_n,p + C_n,p) = A_m,n · B_n,p + A_m,n · C_n,p = D_m,p + F_m,p

 Nota: La propiedad distributiva se cumplirá siempre que A, B y C tengan unas dimensiones que permitan efectuar las operaciones indicadas.

El producto de matrices, en general, no cumple la propiedad conmutativa.

A_m,n · B_n,m ≠ B_n,m · A_m,n

En este caso se confirma tal afirmación en el mismo enunciado ya que el producto de la expresión del primer miembro de la igualdad (A_m,n · B_n,m ) nos daría una matriz de dimensiones m x m mientras que el producto de la expresión del segundo miembro (B_n,m · A_m,n) nos daría como resultado una matriz de dimensiones  n x n.

Aún así, las matrices cuadradas tampoco cumplen dicha propiedad de manera general:

A_m,m · B_m,m ≠ B_m,m · A_m,m

Veamos un ejemplo:

Sean las matrices A y B, comprobemos si cumplen la propiedad conmutativa:

Así pues, podemos ver que la propiedad conmutativa no es válida en el producto de las matrices A y B.

5.   5. Matrices cuadradas.

Las matrices cuadradas cumplen con las propiedades vistas hasta ahora en el producto de matrices. Además de todas ellas vamos a ver algunas otras: 

Matriz unidad: La Matriz Identidad I_n, en un producto de matrices cuadradas, es lo que podemos llamar matriz unidad. Este caso es una excepción donde si se cumple la propiedad conmutativa ya que podemos asegurar que: M_n,n · I_n =  I_n · M_n,n =  M_n,n

Ejemplo: 

Se cumple que A · I₃ = I₃ · A = A

Matriz Inversa: La Matriz cuadrada inversa A^-1 a otra matriz cuadrada A es aquella que al multiplicar A · A^-1  el producto resultado es igual a la Matriz unidad (I).

A_n · A_n^-1 = I_n

Ejemplo:

 

Podemos asegurar entonces que la Matriz B es la Matriz Inversa de A (A^-1)  ya que al multiplicar ambas el resultado es la Matriz unidad (I₂).

Nota: ¡Ojo! No confundir la Matriz Inversa A^-1 con la Matriz Traspuesta A^t.

Vamos a multiplicar ahora B · A

 

 Vemos igualmente que B · A = B · B^-1 = I₂

Por lo que tenemos otra excepción donde se cumple la propiedad conmutativa en el producto de matrices ya que:     M_n · M_n^-1 = M_n^-1 · M_n = I_n

La Matriz inversa cumple además las siguientes propiedades:

No todas las matrices cuadradas tienen matrices inversas. La matriz cuadrada que tiene matriz inversa se llama matriz regular o inversible. En cambio, la que no tiene matriz inversa se llama matriz singular o degenerada.

Para saber si una matriz tiene inversa poder utilizar la resolución por sistema de ecuaciones o la resolución por el sistema Gauss-Jordan.         

  6. Inversa de una matriz por sistema de ecuaciones.

    Para hallar la matriz inversa A^-1 de una matriz A, sustituiremos los términos de la matriz inversa por incógnitas. Seguidamente igualaremos el producto de A · A^-1 a la matriz unidad. Por último extraeremos las expresiones resultantes del producto de cada uno de los vectores de ambas matrices, A y A^-1, y lo igualaremos con el término de la matriz unidad correspondiente. Veamos cómo hallaríamos la matriz inversa del ejemplo anterior:

   7.7. Inversa de una matriz por sistema de Gauss-Jordan.

    Para hallar la matriz inversa A^-1 de una matriz A por el método de Gauss-Jordan convertiremos la matriz A en la matriz unidad I_n efectuando sobre ella las transformaciones que sean necesarias mediante una serie de operaciones en sus filas que también se aplicarán a la matriz unidad I_n. Las operaciones que podremos emplear serán las mismas que se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones por el método de Gauss. Estas serán:

1) Permutar dos filas: Fx < > Fn

2) Sustituir la fila x (Fx) por el resultado de multiplicar o dividir todos sus elementos por un                     número diferente de 0: Fx = k · Fx

3) Sustituir la fila x (Fx) por un múltiplo de ella, más otra fila (Fn) multiplicada por un número                 k: Fx = Fx · n + Fn · k

En resumen, el procedimiento sería el siguiente:

Procedimiento 1: Matriz A -> Se aplica operación 1, 2 o 3 | I_n -> Se aplica la misma operación 1,2 o 3

Procedimiento x: Se aplica el procedimiento 1 hasta que la Matriz A se haya transformado en I_n

Fin: Cuando la matriz A se haya transformado en I_n, la matriz resultante de efectuar las mismas operaciones en I_n será la matriz inversa de A (A^-1):  

Veamos cómo hallaríamos la inversa del apartado anterior por este sistema…

    Nuestra meta es conseguir que la matriz A se transforme en la matriz unidad. Enseguida nos damos cuenta que los términos de valor cero de A, están en la diagonal principal, cuando deberían estar en la diagonal secundaria para que se parezca más a I. ¿Cómo hacemos esta transformación? Exacto, aplicando la operación 1, es decir, la permutación de la fila 1 por la fila 2 en ambas matrices (A e I). Entendemos por permutar, cambiar la posición de una por otra, y lo hacemos en ambas matrices, tal como hemos explicado.

    Ahora vemos que la matriz A está casi transformada en la matriz I, excepto porque el término a₁₁es un 2 en vez de un 1. ¿Cómo transformamos este 2 en un 1? Exacto, dividiéndolo entre 2 (2 : 2 = 1). De esta manera, aplicamos la operación 2, en todos los términos de la fila 1 de ambas matrices.

    Y ya hemos transformado la matriz A en la matriz I en tan solo dos pasos. La matriz A^-1, entonces, será la matriz que nos quede a la derecha, que es el resultado de haber aplicado a la matriz I las mismas operaciones efectuadas en la matriz A.

8. Matrices singulares o degeneradas

 

          Sea la Matriz

 

Hallar su inversa utilizando el sistema de ecuaciones y el de Gauss-Jordan

Empezamos por el sistema de ecuaciones:

Extremos las expresiones resultantes de aplicar el producto de matrices.

Sustituimos el valor de la incógnita a obtenida en la expresión 1) en las expresiones 4) y 7)

Llegamos a un punto donde la ecuación no tiene solución, ya que para una misma expresión (2g-5d) obtenemos dos resultados diferentes (-4 y -3), algo que es imposible.

Cuando esto ocurre es que estamos ante una matriz singular o degenerada, es decir, que no tiene inversa.

Vamos a intentar hallar la inversa de A a través del método Gauss-Jordan.

Lo primero que haremos es colocar una matriz identidad de igual dimensión junto a la matriz A.

El procedimiento que emplearemos será el siguiente: primero transformaremos los elementos de la matriz A situados por debajo de la diagonal principal en ceros. Luego haremos lo mismo con los elementos situados por encima de la diagonal principal y, por último, transformaremos los elementos de la diagonal principal en unos. 

Paso1:

Empezaremos transformando el término a₃₁ = 3 en 0.

Para ello, a la Fila3  le restaremos la Fila1 multiplicada por 3: F3 = F3 – F1 · 3

Esto es así porque el primer término de la Fila1 es un 1. Al multiplicarlo por 3 se transforma en un 3 (3 · 1 = 3) y si luego se lo restamos a la Fila3, el primer término de la Fila3 será igual a 0 (3 – 3 = 0). Veamos la transformación…

F1 · 3 = (1  3  0 | 1  0  0) · 3 = (1 · 3  3 · 3  0 · 3 | 1 · 3  0 · 3  0 · 3) =  (3  9  0 | 3  0  0)

F3 – (F1 · 3) = (3  4  2 | 0  0  1) – (3  9  0 | 3  0  0) = (3 - 3  4 - 9  2 - 0 | 0 - 3  0 - 0  1 - 0) =

                     = (0  -5  2 | -3  0  1)  

Hemos transformado la Fila3 en ambas matrices mediante operaciones y ahora la sustituimos en las matrices iniciales.

Paso2:

Vamos a seguir con el término a₂₁ = 4 para transformarlo en 0.

Para ello realizaremos la siguiente operación F2 = F2 – F1 · 4

F2 = (4   7   2 | 0   1   0) – (1   3   0 | 1   0   0) · 4

F2 = (4   7   2 | 0   1   0) – (4  12  0 | 4   0   0)

F2 = (0  -5  2 | -4  1   0)

Y hemos trasformado la Fila2 tal como queríamos. La sustituimos en las matrices:

Paso3:

Vamos a transformar el último término por debajo de la diagonal principal en 0. En este caso es el término a₃₂ = -5

Realizaremos la siguiente operación: F3 = F3 – F2

F3 = (0  -5  2 | -3  0  1) – (0  -5  2 | -4  1  0)

F3 = (0 – 0    -5 – (-5)    2 – 2 | -3 – (-4)    0 – 1   1 – 0)

F3 = (0   0   0 | 1  -1   1)

Sustituimos en las matrices

Y hemos transformado el término deseado en 0. Sin embargo nos damos cuenta de que en la primera matriz tenemos una fila (la Fila3 en este caso) en la que todos sus términos son ceros. Cuando esto ocurre estamos ante una matriz singular o degenerada.

Esto es así porque el término a₃₃ también se ha transformado en un cero. Para cambiarlo a 1 (la diagonal principal han de ser todos 1), deberemos realizar una operación de suma en la tercera fila, lo que también modificaría los términos a₃₁ y a₃₂ que ya tenemos transformados en 0. 

9. Rango de una matriz

    Podemos definir el rango de una matriz como el número de filas o columnas (vectores) que son linealmente independientes, es decir, que no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

Sea la matriz A.

    Si nos damos cuenta, la fila 3 (4  9  4) es el resultado de sumar la fila 1 y la fila 2 (F3 = F1 + F2). Por otro lado, la fila 4 (6  8  12) es el resultado de multiplicar la fila 1 por 2 (F4 = F1 · 2). Decimos, entonces, que la fila 3 y la fila 4 son linealmente dependientes, pues se forman a partir de operaciones efectuadas con otras filas de la misma matriz. Las operaciones que se pueden utilizar para comprobar la dependencia de una fila o columna sobre otra son las definidas en el apartado anterior para el método de Gauss-Jordan.

    En el caso de la Matriz A, solo la fila 1 y la fila 2 son totalmente independientes, por lo tanto el rango de la matriz A es igual a 2 (Ran (A) = 2).

    El rango de una matriz no puede ser superior al menor número de filas o columnas de la matriz. La matriz A tiene unas dimensiones de 4 x 3, por lo que su rango será 3 o un número menor de 3.

    Vamos a ver como hallar el rango de una matriz utilizando el método de Gauss.

    Suponemos la matriz A. 

Como vemos la matriz tiene unas dimensiones de 4 x 5, por lo que su rango debe estar entre 1 y 4.

Lo que debemos hacer es emplear las operaciones utilizadas en el método de Gauss para escalonar la matriz con ceros a partir de la segunda fila. En este caso debemos conseguir que la matriz nos quede de la siguiente manera.

Una vez que lo hayamos conseguido, el rango de la matriz será el número total de filas en las que alguno de sus términos sean diferentes de cero, es decir, que sean diferentes a (0  0  0  0  0)

            Lo primero que haremos será permutar filas y columnas a nuestra conveniencia. Es interesante que el primer término de la primera fila (a₁₁)  sea el menor número de todos los de la primera columna. En este caso, vamos a permutar la primera fila por la cuarta.

Paso 1: F1 ↔ F4

Paso 2: Vamos a transformar los términos a₂₁ = 1, a₃₁ = 2 y a₄₁ = 9 en ceros. Para ello efectuaremos la siguiente permutación: C1 ↔ C4

Con ello hemos conseguido dos ceros en los términos a₂₁ y a₄₁

Paso 3: F3 = F3 + F1

F3 = (-1  1  3  2  0) + (1  0  2  1  -1) = (-1+1   1+0   3+2   2+1   0+(-1)) = (0  1  5  3  -1)

Sustituimos la transformación de la fila 3 en la matriz

Lo siguiente que haremos será transformar los términos a₃₂ = 1 y a₄₂ = 8 en ceros, siguiendo con el escalonado de la matriz. Para ello emplearemos el término superior de la matriz A a esos dos términos, es decir el término a₂₂ = 2, ya que si seguimos utilizando la primera fila podríamos cambiar los ceros de la primera columna que ya hemos conseguido.

Paso 4:

F3 = F3 · 2 – F2. Con esto conseguimos que a₃₂ = 0; (1 · 2) – 2 = 2 – 2 = 0

F4 = F4 – F2 · 4. Con esto conseguimos que a₄₂ = 0; 8 – (2 · 4) = 8 – 8 = 0

F3 = F3 · 2 – F2 = (0  1  5  3  -1) · 2 – (0  2  -1  1  2) = (0  2  10  6  -2) – (0  2  -1  1  2)

F3 = (0  0  11  5  -4)

 

F4 = F4 – F2 · 4 = (0  8  7  9  4) – (0  2  -1  1  2) · 4 =  (0  8  7  9  4) – (0  8  -4  4  8)

F4 = (0  0  11  5  -4)

 

Sustituimos las transformaciones efectuadas en la fila 3 y la fila 4

 

 Paso5: Por último trasformamos el término a₄₃ en 0.

F4 = F4 – F3 = (0  0  11  5  -4) – (0  0  11  5  -4) = (0  0  0  0  0)

Sustituimos en la matriz…

… y ya tenemos la matriz escalonada tal como queríamos

Comprobamos que tenemos una fila completa de ceros, por lo que las filas linealmente independientes son tres y por lo tanto podemos afirmar que Ran (A) = 3.

10. Ejercicios propuestos.

1)     1) Dada las matrices A y B, calcula A² + B² + 2AB

    Solución:

Vamos a marcar en diferentes colores las operaciones que realizaremos.

    

    

 

Vamos a comprobar que se cumple la propiedad asociativa en el producto 2AB (marcado en verde).

Hemos ejecutado el producto en el siguiente orden 2 · (A · B). Es decir, hemos multiplicado primero A · B y el resultado obtenido luego ha sido multiplicado por 2. El producto obtenido ha sido:

   

     

 2) Dada la matriz A prueba que se verifica A³ + I = 0 y usa esta igualdad para obtener A¹⁰.

           

Vamos a hallar primero A³ teniendo en cuenta que A³ = A²⁺¹ = A² · A¹ = A² · A

Primero calculamos A²

Ahora hallamos A³

 

Ahora comprobamos que  A³ + I = 0 (siendo I de orden 3, o sea I₃)

 

Vamos a calcular ahora A¹⁰

Para ello tenemos en cuenta que...

Y sustituyendo A³ por –I en la primera expresión tenemos que…

Sabemos que I es la matriz unidad y podemos afirmar que  –I = (-1) · I

Tenemos en cuenta que I es la matriz unidad y sabemos que la unidad elevada a cualquier potencia siempre es la unidad, por lo tanto:

También sabemos que cualquier matriz multiplicada por la matriz unidad es igual a la misma matriz, o sea A · I = A, por lo que...

  3) Estudia el rango de la matriz siguiente y di el número de columnas que son linealmente independientes.

Vamos a utilizar el procedimiento de Gauss para hallar el rango de A, explicando cada operación efectuada.

Operación 1:

1)     F2 = F2 – F1

F3 = F3 – F1

F4 = F4 – F1 · 3

 

F2 = F2 –F1 = (1  5  3  3) – (1  -3  -1  -1) = (0  8  4  4)

F3 = F3 –F1 = (1  1  1  1) – (1  -3  -1  -1) = (0  4  2  2)

F4 = F4 –F1 · 3 = (3  7  5  5) – (1  -3  -1  -1) · 3 = (3  7  5  5) – (3  -9  -3  -3) = (0  16  8  8)

 

Operación 2: 

2)      F3 ↔F2

 

Operación 3:

3)      F3 = F3 – F2 · 2

F4 = F4 – F2 · 4

 

F3 = F3 – F2 · 2 = (0  8  4  4) – (0  4  2  2) · 2 = (0  8  4  4) – (0  8  4  4) = (0  0  0  0)

F4 = F4 – F2 · 4 = (0  16  8  8) – (0  4  2  2) · 4 = (0  16  8  8) – (0  16  8  8) = (0  0  0  0) 

 

 

Hemos llegado al escalonado de la matriz y tenemos dos filas con ceros, por lo que podemos afirmar que Ran (A) = 2

 

¿Cuál será el número de columnas linealmente independiente?

 

Por fuerza tiene que ser dos también. Veamos la matriz A

 

Enseguida vemos que C3 y C4 son el mismo vector, por lo que uno de ellos (da lo mismo si es C3 o C4) es linealmente dependiente del otro. Eliminamos la C4.

¿Cuál sería la otra columna dependiente? Pues realmente podríamos escoger cualquiera de las tres, porque cada una de ellas se puede calcular con una combinación de las operaciones de Gauss efectuadas con las otras dos. Veámoslo.

C1 = C2 · (-1) + C3 · 2

C2 = C1 · (-1) + C3 · 2

C3 = (C1 / 2) + (C2 / 2)

 Quitamos C3 por ejemplo

 

 

Y nos quedan dos columnas linealmente independientes.

4) Estudia el rango de A según el valor del parámetro m

 

Vamos a escalar la matriz para que a₃₁ = 2, sea igual a 0.

 Para ello efectuaremos la transformación: F3 = F3 + F1· 2

 F3 = (2   0   m² – 1) + (-1   0   1) · 2  = (2   0   m² – 1) + (-2   0   2)

F3 = (0  0  m² + 1)

 

Una vez escalada la matriz, observamos que si m = 0, F2 será linealmente dependiente al ser el vector (0  0  0), por lo que el rango de la matriz sería 2. Para el resto de valores el rango de la matriz será igual a 3, puesto que F3 nunca tendrá los valores (0  0  0) sea cual sea el valor de m.

 

Solución:         Para m = 0; Ran(A) = 2

                        Para m ≠ 0; Ran(A) = 3