Mi rincón de las matemáticas: Funciones III. Composición de funciones.

1. Funciones definidas a "trozos".

Existen funciones cuya expresión analítica depende del tramo del dominio de definición en el que nos encontremos. En estos casos el comportamiento del recorrido de la función variará dependiendo de la expresión analitica que se aplique a y. Veamos un ejemplo:

Vamos ahora a efectuar la operación contraria, es decir, dado un gráfico formado por trozos de rectas, obtendremos las expresiones analíticas de cada tramo.

2. Transformaciones elementales de funciones.

Cuando sometemos una función a ciertas transformaciones sencillas el gráfico de y = 𝑓(x) se transforma de la siguiente manera.

a) Translación vertical.

Suponemos la función 𝑓(x) y n como un número positivo:

Caso 1: y = 𝑓(x) + n : El gráfico de 𝑓(x) se desplaza n unidades hacia arriba.

Caso 2: y = 𝑓(x) - n : El gráfico de 𝑓(x) se desplaza n unidades hacia abajo.

Veamos un ejemplo creado con Excel:

Como podemos observar la gráfica de y se ha desplazado 2 unidades hacia arriba al transformarla en y'. Lo podemos observar claramente en el vértice de las parábolas donde vértice de y = (0,0) y vértice de y' = (0,2) : y'-y = (0,2), o sea 2 unidades de desplazamiento en el eje y (eje vertical)

b) Translación Horizontal.

Suponemos la función 𝑓(x) y n como un número positivo:

Caso 1: y = 𝑓(x+n) : El gráfico de 𝑓(x) se desplaza n unidades hacia la izquierda.

Caso 2: y = 𝑓(x-n) : El gráfico de 𝑓(x) se desplaza n unidades hacia la derecha.

Veamos un nuevo ejemplo creado con Excel:

Como podemos observar la gráfica de y se ha desplazado 2 unidades hacia la izquierda al transformarla en y'. Lo podemos observar claramente en el vértice de las parábolas donde vértice de y = (0,0) y vértice de y' = (-2,0) : y'-y = (-2,0), o sea -2 unidades de desplazamiento en el eje x (eje horizontal).

c) Simetría

Suponemos la función 𝑓(x):

Caso 1: y' = -𝑓(x) : El gráfico de -𝑓(x) es simétrico a 𝑓(x) con respecto al eje X.

Caso 2: y''= 𝑓(-x) : El gráfico de 𝑓(-x) es simétrico a 𝑓(x) con respecto al eje Y.

Veamos los ejemplos con Excel ...

c) Estiramiento y contracción

Suponemos la función 𝑓(x):

Caso 1: y' = 𝑓(x)· k : El gráfico de 𝑓(x) se estira en sentido vertical.

Caso 2: y''= 𝑓(x) / k: El gráfico de 𝑓(x) se contrae en sentido vertical.

Veamos los ejemplos con Excel:

Al multiplicar la función f(x) por 2 (k) la parábola se estira verticalmente y al dividirla por 2 se contrae verticalmente. Cuanto más alto sea el valor de k más pronunciada será la transformación.

3. Composición de funciones.

Podemos definir una función compuesta de dos funciones f y g, como aquella que transforma x en g[f(x)]. Es decir, sobre x actúa primero la función f y sobre el resultado, la función g. Veámoslo gráficamente:

La expresión g[f(x)] se lee f compuesta con g; Se lee primero la función de la derecha porque es la primera que actúa sobre x. Veamos un ejemplo de composición:

4. Función inversa

Podemos decir que una función inversa, o recíproca, es aquella que aplicada a otra función la anula por completo. Veámoslo con un ejemplo:

Para que una función tenga inversa ha de ser inyectiva, es decir, a cada valor de y le ha de corresponder un único valor de x. Si la función no fuera inyectiva se buscaran los "trozos" en los que sí lo sea y se hallará la función inversa en cada unos de ellos. Veamos un ejemplo:

Pero ¿cómo podemos hallar la expresión analítica de la función inversa a una dada? Pues para ello realizaremos dos pasos. Primero intercambiaremos las incógnitas en la expresión analítica de la función, o sea transformamos y=f(x) en x=f(y), y luego despejamos la y. Veámoslo con un ejemplo:

Puede ocurrir que las funciones estén limitadas en su dominio de definición. ¿Cómo proceder para hallar el dominio de definición de la función inversa? Pues para ello obtenemos los valores que toma la función f(x) en los extremos del intervalo de su dominio de definición. Los resultados obtenidos serán los extremos del intervalo del dominio de definición de la función inversa. Lo vemos con otro ejemplo:

La inversa de una función con incógnita exponencial es una función logarítmica.

5. Funciones arco del seno, coseno y tangente.

Vamos a estudiar en este apartado las funciones inversas del seno, coseno y tangente que será arco seno, arco coseno y arco tangente respectivamente.

5.1 función seno y su inversa arco seno.

Lo primero que tenemos que tener en cuenta es que la función y = sen x no se puede considerar como una función en sí misma, ya que no posee la propiedad inyectiva. Como vemos en el siguiente gráfico, para un valor en y (1/2) podemos encontrar infinitos valores de x.

Para que la función y=seno x sea inyectiva debemos acotarla en un tramo. Cualquier tramo podría servir, pero se aconseja escoger el más cercano al origen de coordenadas para una mejor comprensión.

El arco seno se define, como su propio nombre señala, al arco que forma el ángulo cuyo seno se indica. Así pues, el arco seno de 1/2 es 30º, pues el seno de un ángulo de 30º es 1/2; el arco seno de 1 es 90º, pues el seno de 90º es 1.

Por norma general utilizaremos radianes para referirnos al ángulo en vez de grados. La tabla siguiente muestra una relación entre los grados más comunes y radianes.

Para una mayor comprensión entre ángulos y radianes, aconsejo echar un vistazo al tema Ángulos. Introducción (1). Para ello pulsa Aquí.

5.2 función coseno y su inversa arco coseno.

El arco coseno se define, como su propio nombre señala, como el arco que forma el ángulo cuyo coseno se indica. Así pues, el arco coseno de 1/2 es 60º, pues el coseno de un ángulo de 60º es 1/2; el arco coseno de 0 es 90º, pues el coseno de 90º es 0.

Al igual que la función y = seno x, para que la función y= arco seno x sea inyectiva debemos acotarla en un tramo.

Veamos el gráfico...

5.3 función tangente y su inversa arco tangente.

Podemos definir arcotangente como el arco que forma el ángulo cuya tangente se indica. Así mismo, es también la función inversa de la tangente de un ángulo.

Veamos el gráfico de la función tangente y arcotangente.