Mi rincón de las matemáticas: Potencias

1. Concepto de potencia.

Podemos definir una potencia como el producto de un factor, llamado base, que se repite tantas veces como indica otro llamado exponente. Su representación gráfica sería la siguiente:

2. Consideraciones con potencias.

Hemos de tener las siguientes consideraciones cuando trabajamos con potencias:

Si la base de una potencia es mayor que 1 (a>1) a mayor exponente mayor es el resultado.
Si la base de una potencia es menor que 1 y mayor que cero (0<a<1) a mayor exponente menor es el resultado.
Toda potencia elevada a la unidad es igual a la base.
Cualquier potencia de base 1 es igual a la unidad.
El producto de dos potencias de la misma base es igual a la base elevado a la suma de sus exponentes.
El cociente de dos potencias de la misma base es igual a la base elevada a la resta de sus exponentes.
Toda potencia de exponente 0 es igual a la unidad.
Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados porque su resultado es igual al área de un cuadrado cuyo lado es igual a la base de la potencia.
Las potencias de exponente 3 se llaman cubos porque su resultado es igual al volumen de un cubo cuyas aristas son iguales a la base de la potencia.
La potencia de un número negativo es positiva cuando el exponente es par y negativa si es impar:
El producto de potencias con el mismo exponente es igual al producto de sus bases elevado al mismo exponente:
El cociente de dos potencias con el mismo exponente es igual al cociente de sus bases elevado al mismo exponente:
Una potencia de base real, diferente de cero, y exponente entero negativo es igual a su inverso con exponente positivo:
Una potencia de una potencia es igual a la base elevado al producto de los exponentes.
Un número racional con exponente entero negativo es igual al número racional inverso elevado al mismo exponente positivo.

3. Operaciones combinadas con potencias.

Seguidamente vamos a realizar una serie de ejercicios donde combinaremos todos los teoremas expuestos en el apartado anterior. Comenzaremos con ejercicios sencillos para terminar con algunos más complejos.

4.Algunos casos especiales. Los productos notables.

Por último vamos a tratar cinco casos especiales de potencias que tienen una utilización muy común dentro de la aritmética; son los llamados productos notables.

a) La potencia al cuadrado de la suma de dos números:

El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primero, más el doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Vamos a demostrarlo:

Nota: Observamos que b·a = a·b debido a la propiedad conmutativa.

b) La potencia al cuadrado de la diferencia de dos números:

El cuadrado de la resta de dos números es igual al cuadrado del primero, menos el doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Vamos a demostrarlo:

c) La diferencia de los cuadrados de dos números:

La diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de la suma de dichos números por su diferencia.

Vamos a demostrarlo:

d) El cubo de la suma de dos números:

El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Vamos a demostrarlo:

e) El cubo de la diferencia de dos números:

El cubo de la diferencia de dos números es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.