viernes, 7 de septiembre de 2018

Funciones I. Introducción y conceptos básicos

1.Introducción.

Una función es un criterio que hace corresponder dos variables numéricas, llamadas habitualmente x y y, de tal manera que asocia a cada valor de x un único valor de y

Llamaremos a x variable independiente y a y variable dependiente, ya que su valor dependerá del criterio, o función, que se le aplique a x.

Todo lo descrito anteriormente lo representaremos como y = ⨐(x).

Las funciones se utilizan para estudiar multitud de fenómenos ciéntificos, como por ejemplo la presión del agua en el mar, que tendrá diferentes valores en función de la profundidad en la que nos encontremos, o el tiempo que tardará un objeto en recorrer una distancia, que será mayor o menor en función de la velocidad que adopte dicho objeto. 

Llamaremos dominio de definición de una función (Dom⨐) al conjunto de valores que puede coger x para los cuales existe la función.

Llamaremos recorrido de la función al conjunto de valores de y al aplicar ⨐(x).


2. Presentación de las funciones.

Las funciones nos llegan de diversas maneras o formatos. Lo más común es que primero nos venga dada como un enunciado o través de de una tabla de valores, conseguidos a través de la observación o medición de un determinado suceso. A partir de ahí extraeremos su fórmula o expresión analítica. Finalmente podremos obtener una representación gráfica, que es la manera más sencilla de visualizar el comportamiento de una función.

Vamos a tomar como ejemplo el indicado en el apartado anterior referente al tiempo que tardará un objeto en recorrer una determinada distancia. El enunciado podría ser el siguiente:

"Determinar el tiempo que tardará en recorrer un vehículo una distancia de 20 Km en función de su velocidad".

Está claro que la idea que nos podemos hacer de la función en este caso es poco precisa. 

En este caso es de sobra conocida cual es la fórmula o expresión que debemos utilizar para hallar la función: y = e / x (tiempo = espacio / velocidad).

En este caso la velocidad será la variable independiente (x), el tiempo sera la variable dependiente (y) y el espacio será un dato constante (que no varía).
Hemos de tener en cuenta que no siempre va a ser así y que nos encontraremos con funciones mucho más complejas. 

La fórmula o expresión analítica es la forma más precisa y operativa de dar una función y nos indica perfectamente la relación existente entre las dos variables. En este caso podemos observar a simple vista que cuanto menor sea la velocidad del vehículo mayor será el tiempo en recorrer los 20 km y viceversa, algo que entra dentro de la lógica.

A partir de la fórmula podremos crear una tabla de valores:



Se ratifica la observación que habíamos hecho antes, a mayor velocidad se recorrerá el espacio en menos tiempo. Seguidamente crearemos la representación gráfica de la función.



Nota: La gráfica se ha creado utilizando el programa de Excel. 

La representación gráfica es la forma en la cual se puede apreciar mejor el comportamiento global de una función.

El dominio de definición será (0, ∞) , teniendo en cuenta que los valores de x (velocidad) tendrán que ser positivos y mayores que 0 (pues el vehículo tiene que tener una velocidad mínima positiva).
El recorrido de la función será igualmente (0, ∞) , pues en valor de y (tiempo), será siempre positivo y mayor que 0 (el vehículo tardará siempre algo de tiempo en llegar a su destino)


3. Funciones continuas y discontinuas.

Veamos dos gráficas de funciones diferentes.


La función de la izquierda es continua porque su gráfica no presenta ningún salto, mientras que la de la derecha es discontinua porque presenta una discontinuidad o salto en el punto de abcisa m

Podemos decir igualmente que una funcion es continua en un intervalo [a, b] si no presenta ninguna discontinuidad en él. En el segundo caso la función es continua en el intervalo [0, m) de su dominio de definición.

Veamos un ejemplo de función discontinua.

Un vendedor de coches cobra 100€ por cada tres vehículos vendidos. A partir de doce vehículos vendidos cobrará 50€ por unidad. la gráfica será la siguiente:



Podemos observar que se trata de una función discontinua con perfecta claridad. El primer intervalo de [0, 3) el vendedor no cobrará nada. Si vendiera 3 vehículos cobraría 100€, por lo que se produce el primer salto en la función (vemos que nunca podrá cobrar 50€, de 0€ pasa directamente a cobrar 100€). Los tres siguientes saltos son idénticos. A partir de 12 vehículos cobra 50€ por coche y el gráfico se modifica. 


4. Funciones crecientes y decrecientes.

Observemos la siguiente función gráfica.


Como vemos es una función continua cuyo dominio de definición comprende el intervalo (-8, 4). Sin embargo la función no se comporta de igual manera en todo su recorrido. En algunos tramos el valor de y aumenta y en otros decrece.

La función es creciente en los intervalos (-8, -3) y (2, 4). Por otro lado la función es decreciente en el intervalo (-3, 2).

Decimos que una función ⨐ es creciente si se cumple:

x₁<x₂ entonces ⨐(x₁)<⨐(x)

Decimos que una función ⨐ es decreciente si se cumple:

x₁<x₂ entonces ⨐(x₁)>⨐(x)

Llamaremos máximo relativo en un punto cuando en dicho punto la función toma un valor mayor que en sus puntos próximos, y llamaremos mínimo relativo de un punto cuando en dicho punto la función toma un valor menor que en sus puntos próximos.

En la función del ejemplo podemos ver un máximo relativo en el punto de abscisa -3 y un mínimo relativo en el punto de abscisa 2.

Observamos que una función es creciente antes de un máximo relativo y decreciente después de él. Análogamente una función es decreciente antes de un mínimo relativo y creciente después de él.

5. Tendencia y periodicidad.

Observemos la gráfica del apartado dos referente al tiempo que tarda un vehículo en recorrer una distancia dependiendo de su velocidad.



Observamos que cuanto mayor es la velocidad el tiempo es menor. No es necesario más datos de los aportados para saber que cuando ocurre esto el tiempo de llegada se acerca a 0, aunque nunca llegará a él. Decimos entonces que a mayor velocidad la función tiende a 0. De igual manera, a menor velocidad la función tiende a ∞.

Supongamos ahora un almacén de filtros que abastece a una depuradora de agua. El stock inicial es de 60 filtros. La depuradora necesita 45 filtros cada cinco días a partir del día 1. Una vez suministrados los filtros a la depuradora, el almacén realiza la recompra de la misma cantidad para afrontar el siguiente suministro. Los filtros entran en el stock a los tres días. El gráfico de su stock de filtros sería el siguiente:






















Podemos observar que el intervalo [0, 5] se repite continuamente. La longitud del intervalo que se repite se llama periodoDecimos entonces que estamos ante una función periódica de periodo 5. 
Definiremos una función periódica como aquella cuyo comportamiento se repite cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo.


6. Ejercicios de ejemplo.

1) Este es el gráfico evolutivo de la temperatura de un paciente.


a) ¿Cuánto tiempo estuvo en observación? 

vemos que el dominio de definición de la gráfica es [0, 8] por lo que estuvo en observación 8 días.

b) ¿En qué día la temperatura alcanza un máximo? 

Vemos que el máximo relativo se sitúa en el punto 2 de abscisas por lo que la temperatura alcanza su máximo el segundo día con un valor de 39,5º.

2) ¿Y un mínimo?

Vemos que el mínimo relativo se sitúa en el punto 5 de abscisas por lo que la temperatura alcanza su mínimo el quinto día con un valor de 35,5º.

c) ¿En que intervalos de tiempo crece la temperatura y en cuales decrece?

Intervalos de crecimiento: [1, 2], [5, 6]
Intervalos de decrecimiento: [2, 3], [4, 5]

d) ¿Qué tendencia tiene la temperatura?

La temperatura tiende a mantenerse en 36,5º, que es la misma temperatura que tenía el paciente antes que se produjera la subida después del primer día, lo que nos indica que el periodo de fiebre puede haber desaparecido.

2) Observa el siguiente gráfico.





















a) ¿Es periódica esta función?

Sí, porque se repite un mismo intervalo de forma continua.

b) ¿Cuál es su periodo?

Su periodo es 7.

c) Halla los valores de la función en los puntos de abscisas x = 3 ; x = 6 ; x = 38; X = 56 ; x = 61.

x = 3 -> y = 3 (Se observa en el mismo gráfico)

x = 6 -> y = 5 (También lo podemos observar en el gráfico)

x = 38 -> En este caso el punto de abscisas 38 queda fuera del gráfico, pero al ser una función periódica de periodo 7 podemos averiguar el valor de y. Para ello dividimos el valor de x entre el periodo 7. 


38 = (7 x 5) + 3

Observamos que el cociente es 5 y el resto 3, lo que nos indica que cuando lleguemos a la posición 38 del eje de abscisas, habremos pasado 5 periodos enteros y 3 posiciones más, por lo que el valor de y sera el mismo que el de x = 3, o sea y = 3.

x = 56 -> 56 = (7 x 8) + 0 -> y = 0

x = 61 -> 61 = (7 x 8) + 5 -> y = 2



Siguiente tema: Funciones II. Funciones elementales.

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