1. Funciones elementales.
Las funciones elementales son aquellas que se pueden construir a partir de una cantidad finita de funciones fundamentales y constantes a través de operaciones racionales y la composición de funciones. Leyéndolo así quizá nos suene un poco raro. Vamos a explicar su origen para entenderlo mejor.
La definición de funciones elementales se originó debido a que, durante siglos pasados, con afán de buscar un concepto más preciso de lo que era una función, se generaron una serie de nuevas funciones que, según algunos matemáticos, no servían para ningún propósito, a parte del de intentar demostrar que el significado de función, que se tenía hasta ese momento, era erróneo. Con la intención de diferenciar esas funciones "estrafalarias" de las "honestas", que buscaban una meta práctica, se decidió llamar a estás últimas como funciones elementales.
Las funciones elementales suelen describir fenómenos cotidianos dentro del ámbito de la ciencia, economía, psicología, medicina, etc. Vamos a estudiar las principales.
2. Funciones lineales.
Existen distintos tipos de funciones lineales:
Función de proporcionalidad: y = mx
Se llaman así porque describen una proporción entre los valores de las variables x e y. Están representadas por rectas que pasan por el origen [0, 0].
Función constante: y = n.
Expresión general: y = mx + n.
Se llaman así porque describen una proporción entre los valores de las variables x e y. Están representadas por rectas que pasan por el origen [0, 0].
La pendiente de la recta viene representada por m, y es la razón de proporcionalidad entre la variables x e y. En el caso de la función y = 3x, representada en el gráfico anterior, la pendiente es 3 (por cada unidad del eje x se recorren 3 en el eje y). Un ejemplo de esta función sería el cálculo del cambio de divisas, por ejemplo de € a pesetas. y = 166,386x.
Función constante: y = n.
Se representa como una recta paralela al eje de abscisas, por lo que su pendiente es igual a 0. Otra forma de representar la función sería y = 0x + n, lo que nos ratifica que el valor de la pendiente m es 0 (0 · x = 0 ⇒ y = 0 + n ⇒ y = n). La recta y = 0 coincide con el eje de abscisas.
Expresión general: y = mx + n.
Desde esta expresión se puede llegar a las mencionadas anteriormente según m = 0 o n = 0, por ello se considera como la expresión general. Las funciones lineales se describen con ecuaciones de primer grado, por lo tanto su representación es una recta con pendiente m que corta el eje de ordenadas (y) en el punto n (0, n). Al punto n se le llama ordenada en el origen.
Un ejemplo de esta función sería aquella que nos permite pasar de grados centígrados a grados Farenheit.
y = mx + n
F = 1,8 Cº + 32
Como podemos ver en el gráfico la ordenada en el origen es 32 y la pendiente de la recta es 1,8.
La función y = x creará una recta con la ordenada en el origen situada en el origen de coordenadas (0, 0) y con una pendiente igual a 1 (y = 1x). Dicha recta formará un ángulo de 45º con el eje de abscisas.
De todo lo explicado podemos deducir que la pendiente de una recta dependerá de la variación del valor de y cuando el valor de x aumenta una unidad. Bastaría entonces conocer las coordenadas de dos puntos de y con respecto a x para hallar el valor de la pendiente.
Buscamos dos valores de y en la función y = 3x + 7. Por ejemplo, para
x = 2 -> y = 3 · 2 + 7 = 13
x = 5 -> y = 3 · 5 + 7 = 22
Resultado de la pendiente: 3, tal como indica la función.
Una vez conocida la pendiente de la recta y una de sus coordenadas, podremos hallar la ecuación de la recta. Para encontrar la ecuación vamos a despejar la expresión anterior.
Una vez conocida la pendiente de la recta y una de sus coordenadas, podremos hallar la ecuación de la recta. Para encontrar la ecuación vamos a despejar la expresión anterior.
veamos un ejemplo práctico:
Halla la ecuación de una recta que pasa por los puntos (3, -5) y por (4, -7).
Halla la ecuación de una recta que pasa por los puntos (3, -5) y por (4, -7).
Funciones cuadráticas: y = ax² + bx + c.
Las funciones cuadráticas están definidas por ecuaciones de segundo grado, ax² + bx + c ∀ a ≠0, cuya representación gráfica es una parábola continua en todo ℝ.
Cada una de estas parábolas tiene un eje paralelo al eje Y. La forma que adopten dependerá del coeficiente del término cuya incógnita está elevada al cuadrado (ax²) de tal manera que si a>0 la parábola tendrá el vértice en la parte inferior y si a < 0 lo tendrá en la parte superior. Cuanto mayor sea el valor absoluto de a, |a|, más estrecha será la parábola (la distancia entre sus ramas será más corta).
Vamos a representar la función y = 2x² - 10x + 8.
Ejemplos de este tipo de funciones serán todas las relacionadas con el efecto de la parábola como:
¿A qué altura se encontrará un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba en un determinado momento, según la velocidad de salida en metros/segundo (v)? Será una función cuya variable independiente será el tiempo (t ⩾ 0) y la variable dependiente la altura (h).
h = v · t - 4,9t²
Nota: El valor 4,9 viene del cáculo de 1/2 de la gravedad (9.8 m/s).
Existen varias maneras de llegar a la fórmula para hallar la abscisa del vértice de una parábola. La más usual y sencilla es a través de derivadas, pero como se trata de un tema más avanzado aquí expondremos otro.
Función de proporcionalidad inversa: y = k /x.
Está claro que en este tipo de funciones se cumple que; a mayor valor de x, y decrecerá y a menor valor de x, y crecerá. Este crecimiento o decrecimiento será proporcional entre ambas variables.
Lo veremos más claro si despejamos la k. k = x · y.
Esta fórmula es la misma que se utiliza para el cálculo del área de un cuadrilátero. El área no variará si aumentamos un lado (x) y disminuimos el otro (y) de manera proporcional.
Funciones radicales:
Las funciones radicales son aquellas que llevan una raíz en su definición. El dominio de una función radical de índice impar será ℝ, mientras que si el índice es par estará formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Existen varias maneras de llegar a la fórmula para hallar la abscisa del vértice de una parábola. La más usual y sencilla es a través de derivadas, pero como se trata de un tema más avanzado aquí expondremos otro.
Función de proporcionalidad inversa: y = k /x.
Está claro que en este tipo de funciones se cumple que; a mayor valor de x, y decrecerá y a menor valor de x, y crecerá. Este crecimiento o decrecimiento será proporcional entre ambas variables.
Lo veremos más claro si despejamos la k. k = x · y.
Esta fórmula es la misma que se utiliza para el cálculo del área de un cuadrilátero. El área no variará si aumentamos un lado (x) y disminuimos el otro (y) de manera proporcional.
Funciones radicales:
Las funciones radicales son aquellas que llevan una raíz en su definición. El dominio de una función radical de índice impar será ℝ, mientras que si el índice es par estará formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Funciones exponenciales:
Las funciones exponenciales pueden ser crecientes o decrecientes.
Decimos que este tipo de funciones crece exponencialmente hacia la derecha.
Decimos que este tipo de funciones decrece exponencialmente hacia la derecha.
Las funciones logarítmicas son aquellas que contienen un logaritmo en su ecuación. Son funciones crecientes y su crecimiento es muy lento. Cuanto mayor sea la base del logaritmo más lento sera su crecimiento.
Veamos dos ejemplos creados con Excel:
En este caso hemos escogido solo valores positivos a partir 1 para la x con el fin de comprobar el efecto de la gráfica y ratificar lo que ya hemos enunciado. Como podemos observar, cuanto mayor es el valor de x, más lento es el crecimiento y cuanto mayor es la base, más lento todavía.
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