Operaciones con polinomios. Regla de Ruffini.

1. Conceptos  generales.

   Antes de entrar de lleno en las operaciones con polinomios, vamos a recordar algunos conceptos básicos referentes a nomenclatura algebraica.

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   Llamaremos término a una expresión algebraica que incluye uno o varios símbolos no separados entre sí por los signos + o -. En la expresión anterior el signo "+" no forma parte del término algebraico, pero nos indica el inicio del mismo.

   El grado de un término puede ser absoluto o con relación a una letra. El grado absoluto es la suma de todos los exponentes de sus factores literales. El grado con respecto a una letra es el exponente de esa letra.

Vamos a ver las diferentes clases de términos con los que nos podemos encontrar.

   El término independiente también se podría considerar como aquel cuyos exponentes de cada uno de los símbolos de su parte literal es igual a cero, por lo que se pueden suprimir al dar como resultado la unidad. Por otra parte los términos semejantes se pueden operar entre sí, igual que los independientes.

2. Clasificación de las expresiones algebraicas.

   Según el número de términos de las expresiones algebraicas, podemos clasificarlas en monomios y polinomios.

   Los monomios son expresiones algebraicas que  constan de un  sólo término...

   Los polinomios son expresiones algebraicas que constan de más de un término. Así mismo dentro de los polinomios cabe destacar los binomios (cuando constan de dos términos) y los trinomios (cuando constan de tres términos).

   El grado de un polinomio puede ser absoluto o con relación a una letra. 

   El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado. En el ejemplo anterior el polinomio es de quinto grado.

   El grado con relación a una letra sería el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. En el ejemplo anterior,  sería de quinto grado respecto a la "x" y de tercer grado respecto a la "y".

3. Clases de polinomios.

   Dependiendo de la clase, el contenido y el orden de los términos que componen un polinomio, podemos clasificarlos en:

4. Operaciones con Polinomios.

   Vamos a ver varias operaciones que se pueden realizar con los polinomios:

a) Suma de Polinomios.

   Para sumar dos polinomios agrupamos los términos semejantes y los simplificamos:

b) Resta de polinomios.

   Para restar dos polinomios, lo primero que debemos hacer es calcular el polinomio opuesto al polinomio sustraendo. Esto se realiza simplemente cambiando de signo todos sus términos (en realidad multiplicamos el polinomio por -1). Seguidamente sumamos ambos polinomios:

c) Multiplicación de Polinomios.

   En este caso multiplicaremos cada término de uno de los polinomios por todos y cada uno de los términos del otro. Seguidamente reduciremos el polinomio producto, sumando cada uno de los términos semejantes obtenidos.

d) División de Polinomios.

   

   Lo primero que tenemos que hacer antes de realizar la división entre dos polinomios es ordenar, tanto el dividendo como el divisor, en orden descendente con respecto a la misma letra.

   Seguidamente realizaremos el siguiente procedimiento, que explicamos con un ejemplo para su mayor comprensión.

       Cuando la división no es exacta, es decir cuando el resto es diferente a 0, debemos detener las operaciones cuando el primer término del residuo es de grado inferior al primer término del divisor con relación a la misma letra. Veamos un ejemplo.

5. Teorema del residuo.

     Una de las divisiones más comunes que nos podemos encontrar es la de un polinomio entero y racional entre un binomio del tipo "x - a".

   El teorema del residuo nos dice que el residuo de dividir un polinomio entero y racional entre un binomio del tipo "x - a" se obtiene sustituyendo en el polinomio dividendo la "x" por un valor que al sustituirlo en la incógnita del binomio divisor éste resulte 0. Normalmente será el opuesto al término independiente del binomio divisor. Veamos un ejemplo. 

   Hay que tener en cuenta que el valor que sustituimos en el polinomio dividendo es aquel valor para "x" que deje el binomio del divisor a 0. En el caso anterior el binomio divisor era (x - 1), así pues el valor de "x" será necesariamente 1: 

x - 1 = 0 ==> x = 1.

   Vamos a demostrar que el teorema del residuo es cierto.

   En general el valor de la incógnita para hallar el residuo dependerá de los valores del coeficiente de "x" y del termino independiente del binomio divisor:

   Realmente en los casos a) y b) el coeficiente de "x" es 1 y si utilizamos las normas c) y d) el valor del denominador  "b" sería 1 dando como resultado final el numerador, es decir "a" o "-a".
     
Vamos a demostrar las dos últimas afirmaciones:

  

  6. Raíces de un polinomio. Regla de Ruffini. 

   Un número será raíz de un polinomio si al sustituirlo en la incógnita de dicho polinomio su resultado es 0. Así pues, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P(x) = 0. Veamos un ejemplo:

   Existe un método mucho más sencillo a la hora de realizar divisiones de polinomios entre binomios del tipo "x - a". Nos estamos refiriendo a la división por el sistema de Ruffini o división sintética de polinomios. Veamos el procedimiento.

   Este sistema para reducir un polinomio en un producto de factores polinómicos del menor grado posible, es lo que llamamos factorización que, por su extensión, veremos en otro capítulo.