Ángulos II. Perpendicularidad y paralelismo.

1. Perpendicularidad.

  Dos rectas que se cortan formando cuatro ángulos iguales son perpendiculares entre si. Cada uno de los ángulos creados por la intersección de dichas rectas formará un ángulo recto de 90º. Si las rectas al cortarse no forman ángulos iguales se dice que son oblicuas.

   Como hemos enunciado antes dos rectas perpendiculares lo son entre si, es decir si una recta es perpendicular a otra, esta también es perpendicular a la primera. Este carácter de la perpendicularidad entre dos rectas se llama reciprocidad.

   Podemos afirmar los siguientes teoremas:

   1) Desde un punto exterior a una recta, sólo podemos trazar una única perpendicular, cuyo segmento del punto exterior hasta la intersección en la recta es la menor distancia que los separa.

   2) Desde un punto exterior a una recta, podemos trazar infinitas oblicuas, cuyos segmentos desde el punto exterior a la intersección con la recta siempre serán mayores que el del segmento formado por la perpendicular. Es por ello que la menor distancia, la de la perpendicular, se considerará la distancia real del punto a la recta.

   3) Desde un punto exterior a una recta y trazando varias oblicuas, el segmento de la oblicua más corto del punto exterior a las intersecciones con la recta, será el de aquella cuyo punto de intersección con la recta se encuentre más cerca del punto de intersección de la perpendicular.

   Vamos a verlo gráficamente.

  Disponemos de una recta EF y de un punto exterior P, sobre el cual hemos trazados cuatro rectas que cortan a EF en varios puntos. De esta manera hemos creado las rectas PA, PB, PC y PD. Según lo expuesto podemos deducir que

1) PB < PC. / PB < PD / PB < PA, puesto que PB es perpendicular a la recta EF

2) PC < PD, puesto que BC < BD

3) PA = PC, puesto que BA = BC.

  Vamos a demostrar que las deducciones anteriores son ciertas:

  Lo primero que haremos será trazar el punto P y las rectas PA, PB, PC y PD simétricamente al otro lado de la recta EF respetando de esta manera las distancias entre el nuevo punto P, que llamaremos P' y las nuevas rectas P'A, P'B, P'C y P'D. Es como si dobláramos una hoja por EF y la imagen quedara impregnada al otro lado de la recta. Al hacer esto nos basamos en el postulado que dice que una figura geométrica puede moverse sin cambiar de tamaño ni forma.

  1) PB < PC.

      Lo primero que podemos observar es que PB + BP' < PC + CP', puesto que, como sabemos, la distancia más corta entre dos puntos es la recta que los une (véase el tema dedicado a los segmentos).

Nota. Da igual que llamemos al segmento P'B como BP' pues en ambos casos es el mismo segmento.

     Como también sabemos que PB = BP' y que PC = CP' por ser simétricos con respecto a la recta EF, podemos declarar sustituyendo en la declaración anterior que...

    Seguiremos el mismo procedimiento para demostrar que PB < PD y que PB < PA

   2) PC < PD.

       En este caso haremos uso de lo que conocemos como construcción auxiliar y prolongaremos el segmento PC hasta que corte a  P'D. El punto de corte lo llamaremos G.

Ahora podemos deducir que....

     3) PA = PC

         Si tomamos la recta PP' como eje de simetría y doblamos la figura por ella, llevaremos el semiplano de la derecha sobre la izquierda y veremos que los puntos A y C coincidirán uno sobre otro, porque la medida del segmento BA es igual que la de BC. Así tenemos que PA = PC al ser P un punto común y coincidir A con C, y como sobemos por dos puntos pasa una recta y solamente una.

    Todas estas verificaciones cumplen el carácter de reciprocidad. Es decir si decimos que...

1) Desde un punto exterior a una recta, sólo podemos trazar una única perpendicular, cuyo segmento del punto exterior hasta la intersección en la recta es la menor distancia que los separa.

    De igual manera se verifica que

1) El menor de los segmentos entre un punto exterior y una recta será perpendicular a dicha recta.

    De igual manera ocurrirá con los puntos 2 y 3 descritos anteriormente.

 2. Paralelismo.

   Como sabemos dos rectas de un plano son paralelas si al prolongarlas no tienen ningún punto en común, o sea que no se cruzan. Esta condición es recíproca, es decir; si la recta r es paralela a la recta p, la recta p también será paralela a la recta r. Así mismo también podemos indicar que toda recta es paralela a sí misma. Es lo que llamamos propiedad idéntica. Por último destacar que dos rectas que son paralelas a una tercera, también son paralelas entre sí; es lo que llamamos propiedad transitiva. El paralelismo se expresa con el signo ||.

   Podemos ver que AB y CD son paralelas entre sí, pero no ocurre lo mismo con EF pues, al prologarse, corta la recta CD en el punto G, y lo mismo ocurriría si la prolongáramos todavía más hasta cortar la recta AB.

 3. Relaciones entre perpendicularidad y paralelismo.

   Existen varios teoremas que relacionan la perpendicularidad y el paralelismo. Veamos alguna de ellos.

  1) Si sobre una recta en un plano, trazamos dos perpendiculares, éstas serán paralelas entre sí.

   Las rectas CD y EF son perpendiculares a la recta AB y por lo tanto paralelas entre sí. Para demostrarlo vamos a utilizar el método de lo absurdo que consiste en suponer lo contrario a lo que se quiere demostrar llegando, mediante razonamientos, a una conclusión que se contradice, quedando así demostrado que la suposición inicial era  verdadera. 

   Así pues, supongamos que CD y EF no fueran paralelas. Esto significa que dentro del plano que las contiene se tendrían que cortar en algún punto que llamaremos P (sólo las rectas paralelas no se cortan en ningún punto). Pero hemos dicho en nuestra hipótesis que CD y EF son perpendiculares a AB y esto no sería posible porque por un punto exterior a una recta (P), sólo puede pasar una perpendicular y sólo una (la que forma el segmento de menor distancia hasta el pie en la recta) como indicamos en el punto 1. Llegamos entonces a una contradicción, lo que nos indica que CD y EF deben ser paralelas por fuerza y no cortarse en un punto (P).

2. Por un punto exterior a una recta, pasa una sola paralela a dicha recta.

   Este teorema resulta de lo explicado en el anterior. Supongamos que tenemos una recta CD y un punto exterior a dicha recta que llamaremos P (figura anterior). Desde el punto P trazaremos una perpendicular a AB hasta CD que la cortará en el punto P'. Por último trazaremos una nueva perpendicular a PP' que pase por el punto P (y tendremos la imagen anterior). Al ser AB y CD perpendiculares a PP', por fuerza AB y CD serán paralelas entre sí, según lo expuesto en el punto 1.

   Esta demostración se conoce como el postulado de Euclides que fue muy discutido en su momento, dando lugar a las llamadas geometrías no euclidianas.

3. Si dos rectas son paralelas a una tercera, entonces estas dos rectas también son paralelas entre sí.

   Creamos la recta AB que es paralela a DF (AB||DF) y la recta CD que también es paralela a DF (CD||DF). Según esta teoría AB y CD también serían paralelas entre sí (AB||CD).

   Supongamos entonces que AB y CD no fueran paralelas entre sí, por lo que se tendrían que cortar en un punto P (en la imagen las rectas difuminadas). Tendríamos entonces un punto exterior a la recta DF por la que solamente podría pasar una paralela a ella, según lo expuesto en el punto 2 (teorema de Euclides). Pero en nuestra hipótesis hemos dicho que tanto AB como CD son paralelas a EF, lo que es una contradicción al teorema de Euclides que dice que sólo puede haber una ( o AB o CD, pero no las dos). Llegamos entonces a una contradicción, lo que demuestra que el teorema inicial es cierto.

4. Si una recta corta a otra también cortará a sus paralelas.

   Creamos una recta AB que está cortada por la recta EF en el punto P. Según esta teoría EF cortará a todas las rectas que sean paralelas a AB, como por ejemplo CD en el punto P'. Vamos a demostrar nuestra teoría por el método de lo absurdo.

   Supongamos entonces que nuestra conclusión no es cierta, es decir, que EF no corta a CD en ningún punto. Esto nos indica que la recta EF es paralela a CD porque no la corta. Pero según lo que hemos visto en el punto 3, si EF es paralela a CD y CD es paralela a AB (según la hipótesis inicial), entonces EF ha de ser paralela por fuerza a AB, y esto no puede ser porque hemos dicho en nuestro enunciado que EF corta a AB en el punto P.

   Así pues llegamos de nuevo a una contradicción, por lo que el teorema inicial es cierto.

5. Si una recta es perpendicular a otra, también será perpendicular a todas sus paralelas.

   Creamos una recta CD que está cortada perpendicularmente por la recta EF. Según el teorema, también cortará perpendicularmente a todas las paralelas de CD, como en la ilustración que corta a la recta AB perpendicularmente por el punto P. Vamos a comprobarlo por el método de lo absurdo.

   Supongamos entonces que EF no corta perpendicularmente a AB por el punto P. Entonces podríamos trazar una recta nueva "GH" perpendicular a EF que pasara por el punto P (contenido en EF). Al ser GH perpendicular a EF y CD también perpendicular a EF, entonces GH y CD serían paralelas entre sí (punto 1). Pero:

• Si CD y GH son paralelas entre sí, y CD y AB también son paralelas entre sí según la hipótesis inicial, entonces GH y AB también son paralelas entre sí (teorema 3).
• Tanto GH como AB pasan por el punto P y esto sería imposible, pues por un punto exterior a una recta sólo puede pasar una paralela (teorema 2), o GH o AB, pero no las dos.

   Llegamos entonces a una contradicción y por lo tanto a la verificación del teorema expuesto.

4. Teoría de rectas cortadas por secantes.

   Una recta secante es aquella que corta a otra recta (o curva) en algún punto. Decimos pues que dos rectas son secantes cuando tienen un punto en común donde se cruzan. Si no tienen ningún punto en común serán paralelas.

   Si dos rectas contenidas en un plano están cortadas por una misma secante, se formarán ocho ángulos, cuatro en cada intersección con la secante.

    Según la posición que ocupen, podemos clasificar dichos ángulos en:

• Internos: <4,<3,<5,<6
• Externos: <1,<2,<8,<7
• Alternos internos: Son los pares <3 y <5 // <6 y <4
• Alternos externos: Son los pares <1 y <7 // <2 y <8
• Correspondientes: Son los pares <1 y <5 // <2 y <6 // <3 y <7 // <4 y <8
• Conjugados internos: Son los pares <3 y <6 // <4 y <5
• Conjugados externos: Son los pares <2 y <7 // <1 y <8

   Cuando una secante corta dos paralelas se produce una relación entre sus ángulos:

      Como podemos observar:

• Los pares de ángulos correspondientes son iguales: <1 = <5  ;  <2 = <6  ;  <4 = <8  ;  <3 = <7.
• Los pares de ángulos alternos internos son iguales: <4 = <6  ; <5 = <3
• Los pares de ángulos alternos externos son iguales:  <1 = <7  ;  <2 = <8
• Los pares de ángulos conjugados internos son suplementarios: <4 + <5 = 180º  ;       <3 + <6 = 180º
• Los pares de ángulos conjugados externos son suplementarios:  <1 + <8 = 180º  ;    <2 + <7 = 180º

   Podemos constatar pues que:

• si una secante corta dos rectas en un plano formando ángulos correspondientes iguales, dichas rectas son paralelas.
• si una secante corta dos rectas en un plano formando ángulos alternos internos iguales, dichas rectas son paralelas.
• si una secante corta dos rectas en un plano formando ángulos alternos externos iguales, dichas rectas son paralelas.
• etc...

5. Ejercicios sobre perpendicularidad y paralelismo.

   Vamos a realizar varios ejercicios sobre lo visto hasta ahora. Comenzaremos, como siempre, con problemas sencillos y, progresivamente, iremos incrementando la dificultad.