Potencias

1. Concepto de potencia.

Podemos definir una potencia como el producto de un factor, llamado base, que se repite tantas veces como indica otro llamado exponente.  Su representación gráfica sería la siguiente:

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

1. Máximo común divisor.

   Podríamos definir el máximo común divisor de varios números (m.c.d), como el mayor número que divide a todos ellos exactamente. Por ejemplo:

   Tenemos los números: 24, 18 y 12.

   Los números que lo dividen exactamente a los tres son 1, 2, 3, y 6. Los cuatro números indicados son divisores, pero el m.c.d será 6 porque es el mayor de todos. En este caso hemos podido averiguar el m.c.d por simple inspección (fijándonos en los divisores del menor de ellos que también lo sean de los demás), pero habrá otras ocasiones en que no pueda ser así. Para hallar el m.c.d en estos casos podremos emplear dos métodos.

a) Cálculo del m.c.d por el algoritmo de Euclides: En este caso se dividen un número por otro; si sólo son dos números el mayor por el menor y si son varios escogeremos primero los dos menores y dividiremos igualmente el mayor de ellos por el menor. Si la división no es exacta, se divide el divisor anterior por el resto obtenido, realizando esta misma operación hasta que obtengamos un residuo igual a 0. Si sólo hemos buscado el m.c.d de esos dos números, éste será el último divisor empleado. Si se trata de buscar el m.c.d de más de dos números volveremos a realizar esta operación entre el siguiente número y el m.c.d obtenido, y así sucesivamente hasta acabar con todos los números. El último divisor utilizado que nos dé una división exacta será el m.c.d de todos. Veamos un ejemplo:  

Criterios de divisibilidad.

   Existen ciertos criterios que nos permiten conocer a primera vista si un número es divisible por otro . Vamos a conocer los más importantes.

Nota: Es interesante conocer los teoremas principales sobre múltiplos y divisibilidad para entender mejor algunos conceptos que aquí se explican. Al final encontraras varios enlaces sobre el tema.

Divisibilidad por 10.

   Sabemos que cuando dividimos un número entre una potencia de 10, para hallar el cociente debemos mover en dicho número la coma decimal hacia la izquierda tantos dígitos como ceros tiene la potencia. Por ejemplo:

1.258 : 10 = 125,8

1.258 : 100 = 12,58

1.258 : 1.000 = 1,258

1.258 : 10.000 = 0,1258

   Así pues, podemos decir que un número será divisible por una potencia de 10, cuando los decimales que se generen en el cociente sean únicamente ceros.

10.000 : 10 = 1.000,0 = 1.000

10.000 : 100 =  100,00 = 100

10.000 : 1.000 = 10,000 = 10
25.230 : 10 = 2.523,0 = 2.523

  Luego:

• Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.
• Un número es divisible por 100 cuando termina en 00.
• Un número es divisible por 1000 cuando termina en 000.
• etc....

Números primos y compuestos.

1. Concepto general de número primo y número compuesto.

   Podemos definir número primo como aquel número que sólo es divisible por la unidad y por si mismo. Son números primos por ejemplo:

                                                                      2, 3, 5, 7 ......

   Número compuesto es aquel que aparte de por si mismo y la unidad, también puede ser dividido por uno o varios números más. Por ejemplo:

                                                              4, 6, 8, 9, 10, 12 .....

   Como podemos observar 4 además de poderse dividir por 4 y 1 también puede ser dividido por 2. El número 12 puede ser dividido por 12, 6, 4, 3, 2 y 1 por lo que lo definiremos igualmente como número compuesto.

   El número 1 no está considerado como número primo y mucho menos como compuesto. Si atendemos a su definición más simple, un número primo tiene exactamente dos divisores, la unidad y él mismo, y el 1 sólo tiene un divisor (1). Existen muchas más razones para considerar el número 1 como no primo, pero serán objeto de estudio en otros capítulos. 

   Para averiguar si un número es primo lo dividiremos por todos los números primos menores que él ordenadamente de menor a mayor (empezamos por 2, 3, 5, 7...). Si alguna división fuera exacta podemos descartar que se trate de un número primo, pues esto nos indicaría que es múltiplo de otro número. Seguiremos realizando las divisiones mientras sean inexactas y hasta que el cociente sea menor o igual al divisor. Al llegar a este caso podemos afirmar que estamos tratando con un número primo. Pongamos un ejemplo para entenderlo mejor:

  
Sea el número 149. Veamos si es un número primo. Comenzamos dividiendo por 2.
                                                               

Múltiplos y divisores.

1. Concepto de múltiplo y divisor.

   Múltiplo de un número es aquel que lo contiene una cantidad exacta de veces. Así pues por ejemplo, 12 es múltiplo de 3 porque lo contiene 4 veces exactamente:

                                                        12 = 3 x 4 = 3 + 3 + 3 + 3

   Para indicar que un número es múltiplo de otro podemos hacerlo de dos maneras:

                                                        a = m. de b (12 = m. de 3)

   Los múltiplos de un número se forman multiplicándolo por la serie infinita de números naturales, así pues podemos afirmar que todo número tiene infinitos múltiplos.

  

                                                              Múltiplos de 3

                                                                  0 x 3 =   0
                                                                  1 x 3 =   3
                                                                  2 x 3 =   6
                                                                  3 x 3 =   9
                                                                  4 x 3 = 12
                                                                  5 x 3 = 15
                                                                  6 x 3 = 18

                                                                          etc...

 

Los números.

1. Los números. Introducción.

   Podemos definir los números como símbolos que utilizamos para representar cantidades. Según su naturaleza podemos englobar los números en diferentes grupos. Veámoslo en forma de esquema.