Podemos definir una potencia algebraica como la forma simplificada de escribir una multiplicación cuyos factores son la misma expresión algebraica repetida un numero determinado de veces. Así pues si tomamos como ejemplo la expresión algebraica 3a y la multiplicamos por si misma varias veces tendremos las siguientes potencias:
El exponente de la potencia indica las veces que se repite la expresión como factor en la multiplicación. Así pues la primera expresión elevada a 0, indica que la expresión no aparece ninguna vez como factor, por lo tanto el resultado es la unidad (todo número elevado a 0 es igual a 1).
Pongamos ahora, como ejemplo, la misma expresión algebraica en negativo, es decir - 3a:
Como podemos ver:
a) Toda potencia con exponente par de una expresión negativa da como resultado una
expresión positiva.
expresión positiva.
b) Toda potencia de exponente impar de una expresión negativa da como resultado una
expresión negativa.
expresión negativa.
Entonces:
En este capítulo estudiaremos las expresiones algebraicas elevadas a una potencia con exponente entero y positivo.
2. Potencia de un monomio.
Para elevar un monomio a una potencia seguiremos tres pasos.
a) Elevamos su coeficiente a la potencia indicada.
b) Se multiplica el exponente de cada letra por el exponente de la potencia.
c) Se determina el signo de la expresión resultante.
Veamos un ejemplo:
Vemos que al multiplicar los coeficientes del numerador, -3 · -3 = 9, la expresión se vuelve positiva.
3. Potencia de un binomio.
Toda binomio elevado a una potencia de exponente entero y positivo puede resolverse utilizando la fórmula del binomio de Newton.
A través de esta fórmula podremos resolver directamente un binomio elevado a una potencia cualquiera sin tener que realizar todas las operaciones precedentes. Veamos un ejemplo:
Como vemos con la fórmula de Newton nos ahorramos muchas operaciones y pasos a realizar. En general podemos decir que:
a) Cada desarrollo de la potencia de un binomio tiene un término más que el exponente del
binomio.
b) El exponente de a en el primer término es igual al exponente del binomio y disminuye
en 1 unidad en cada término posterior.
c) El exponente de b en el segundo término es 1 y aumenta en 1 unidad en cada término
posterior.
posterior.
d) El coeficiente del primer término es 1 y el coeficiente del segundo término es igual al
exponente de a en el primer término.
e) El coeficiente de cualquier término se obtiene multiplicando el coeficiente del término
anterior por el exponente de a en dicho término anterior y dividiendo el resultado de este
producto por el exponente de b en ese mismo término anterior aumentado en 1 unidad.
f) El último término es b elevado al exponente del binomio.
¿Qué pasa cuando el binomio es (a - b)?.
Podemos igualmente aplicar el teorema del binomio de Newton pero teniendo en cuenta que aquellos términos en que la letra b (en este caso -b) esté elevada a un exponente impar tendrán el signo del término negativo, pues como hemos visto cualquier expresión negativa elevada a un exponente impar da como resultado una expresión negativa. En cambio los términos que tengan la letra b (-b) elevada a un exponente par tendrán el signo del término positivo, pues cualquier expresión negativa elevada a un exponente par da como resultado una expresión positiva.
Así pues los términos que ocupen lugar par en el desarrollo de la potencia del binomio serán negativos y los términos de lugar impar positivos.
Veamos un ejemplo
Como podemos ver cada término del binomio (2a y 3b) se elevan a las potencias correspondientes según la ley del binomio de Newton. Igualmente observamos que los coeficientes del desarrollo de cada término son 1, 5, 10, 10, 5, 1 ordenadamente de izquierda a derecha. En realidad basta siempre determinar la mitad de los coeficientes (o la mitad más uno si el número de términos es impar) pues cuando se repite un coeficiente (en este caso el 10) los siguientes se repiten en el mismo orden de derecha a izquierda.
Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia son siempre los mismos. Estos se pueden averiguar a través del llamado triángulo de Pascal.
Este triángulo se crea de la siguiente manera:
1-. El la primera fila se coloca el 1.
2-. En la segunda fila se pone 1 y 1.
3-. En las siguientes filas se empieza por 1 y los siguientes números se calculan
sumando las dos cifras que se encuentran en la parte superior izquierda y derecha
del número que se pretende averiguar.
Hemos marcado en azul dos ejemplos para ver claramente el procedimiento:
4-. Cada fila termina con el número 1.
Los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio vienen dados por la fila en que después del 1 está el exponente del binomio. Los hemos marcado en rojo para distinguirlos mejor. Veamos un ejemplo:
4. Cuadrado y cubo de un polinomio.
Supongamos los dos siguientes polinomios.
P(1) = (a + b + c)
P(2) = (a + b + c - d).
Vamos a elevarlos al cuadrado y resolverlos.
Viendo los resultados podemos afirmar que:
Supongamos los dos siguientes polinomios.
P(1) = (a + b + c)
P(2) = (a + b + c - d).
Vamos a elevarlos al cuadrado y resolverlos.
Viendo los resultados podemos afirmar que:
El cuadrado de un polinomio es igual a la suma del cuadrado de cada uno de sus términos más el doble de cada una de las combinaciones binarias que se puedan formar con dichos términos tomadas con el signo que resulte del producto entre ellos.
Los cuadrados de los términos siempre son positivos.
Veamos un ejemplo:
Volvamos a tomar de nuevo los polinomios:
P(1) = (a + b + c)
P(2) = (a + b + c - d).
Vamos a elevarlos al cubo y resolverlos.
Vamos a elevarlos al cubo y resolverlos.
Viendo los resultados podemos afirmar que:
El cubo de un polinomio es igual a la suma de los cubos de sus términos, más el triple del cuadrado de cada uno de dichos términos por cada uno de los demás, más el séxtuplo de las combinaciones ternarias que puedan formarse con los términos.
Veamos un ejemplo:
5. Comprobación del binomio de Newton.
Vamos a comprobar que la ley del binomio de Newton es válida para cualquier binomio elevado a un exponente entero y positivo.
El desarrollo realizado es el mismo que el de la fórmula del binomio de Newton, solamente que tenemos (n + 1) donde anteriormente teníamos n.
Así pues podemos afirmar que la ley del binomio de Newton se cumple tanto para el exponente n como para n + 1.
Supongamos ahora que llamamos k a n + 1 : k = n + 1.
Vamos a comprobar que la ley del binomio de Newton es válida para cualquier binomio elevado a un exponente entero y positivo.
El desarrollo realizado es el mismo que el de la fórmula del binomio de Newton, solamente que tenemos (n + 1) donde anteriormente teníamos n.
Así pues podemos afirmar que la ley del binomio de Newton se cumple tanto para el exponente n como para n + 1.
Supongamos ahora que llamamos k a n + 1 : k = n + 1.
Esta demostrado que la ley de binomio de Newton se cumplirá para el exponente k, entonces también se cumplirá para k + 1 como hemos demostrado. ¿y que es realmente k + 1?.
k + 1 = (n + 1) + 1 = n + 2
O sea que también se cumplirá para el exponente n + 2, y por este mismo razonamiento también se cumplirá para n + 3, n + 4 , .......
Queda entonces demostrado que la ley del binomio de Newton se cumple para cualquier exponente entero y positivo.
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