Logaritmos vulgares o de Briggs (de base 10)

1. Introducción a los logaritmos.

   Logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado.

   Así pues el logaritmo de base 3 de 1 es 0, el logaritmo de base 3 de 3 es 1, el logaritmo de base 3 de 9 es 2, ....  Lo expresaremos de la siguiente manera:

   Se podría decir que los logaritmos son la operación contraria a la exponenciación, como la resta lo es a la suma y la división a la multiplicación. Cualquier número positivo se puede tomar como base de un sistema de logaritmo, por lo que el sistema es ilimitado.

   Los sistemas usados generalmente son dos:

• Logaritmos vulgares o de Briggs: de base 10
• Logaritmos naturales o Neperianos: de base e = 2,7182818284....

   De lo expuesto hasta ahora deducimos que:

1. La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa porque sus potencias pares serían positivas y las impares negativas alternando números positivos y negativos y dando lugar a números positivos intermedios sin logaritmos. Por ejemplo, no hay ninguna potencia que eleve a la base -3 para que de 27.
2. Los números negativos no tienen logaritmo porque si la base es positiva todas sus potencias serán siempre positivas.
3. En todos los sistemas el logaritmo de 1 es 0, ya que toda potencia elevada a 0 es igual a 1.
4. En todos los sistemas el logaritmo de la propia base es 1, pues toda potencia elevada a 1 es igual a la base.
5. Los números mayores de 1 tienen logaritmo positivo ya que si Log 1 = 0, los que sean mayores que 1 tendrán logaritmo mayor que 0.
6. Igualmente, los números menores de 1 tienen logaritmo negativo ya que si Log 1 = 0, los que sean menos que 1 tendrán logaritmo menor que 0. 

2. Logaritmo de un  producto y una división.

   

3. Logaritmo de una potencia y una raíz.

4. Logaritmos vulgares o de Briggs.

   Los logaritmos vulgares son aquellos cuya base es 10. A partir de ahora cuando nos refiramos a cualquier logaritmo será de base 10 y no indicaremos su base. Podemos decir que, en esta clase de logaritmos,  los únicos números cuyos logaritmos son enteros son las potencias de 10.

   De lo anteriormente expuesto, deducimos que si el logaritmo de 1 es 0 y el logaritmo de 10 es 1, los números entre 1 y 10 tendrán igualmente un logaritmo comprendido entre 0 y 1. Por ejemplo el logaritmo de 2 es 0,301030.

   De la misma manera si el logaritmo de 10 es 1 y el de 100 es 2, los números comprendidos entre 10 y 100 tendrán un logaritmo entre 1 y 2. Por ejemplo el logaritmo de 25 es 1,397940.

   En general podemos decir que el valor entero del logaritmo de un número positivo es igual a la cantidad de cifras de dicho número menos uno. Esta parte entera del logaritmo es lo que llamamos característica. 

    La parte decimal de un logaritmo es lo que llamamos mantisa y es siempre positiva. ¿Que queremos decir conque siempre es positiva?.

    Realmente el logaritmo de un número comprende una parte entera (característica) más una fracción propia (mantisa) que es la diferencia entre el valor del logaritmo y su parte entera. Lo comprenderemos mejor con el siguiente esquema...

   El número 2,345765 tiene 2 como característica y 345765 como mantisa porque es la parte fraccionaria hasta su parte entera (2,345765 - 2 = 0,345765).

    En el número -2,345765 su parte entera es -3, así pues la mantisa será la diferencia entre el número propio y su parte entera, o sea  -2,345765 - (-3) = +0,654234.

   Así pues vemos que:

                                                   

    El signo "-" encima del número 3 nos indica que sólo la parte entera (característica) es negativa, mientras que la parte decimal (mantisa) es positiva.

    ¿qué pasa con los logaritmos menores que 1?. Si el logaritmo de 1 es 0 los logaritmos de los números comprendidos entre 0 y 1 serán negativos.

   Así pues si el logaritmo de 1 es 0 y el de 0,1 es -1 los números comprendidos entre 0,1 y 1 tendrán un logaritmo entre -1 y 0. 

   Como el logaritmo de 0,1 es -1 y el de 0,01 es -2 los números comprendidos entre 0,01 y 0,1 tendrán un logaritmo entre -2 y -1.....

   En general podemos decir que el valor absoluto de la característica del logaritmo de un número menor que 1 es uno más que la cantidad de ceros desde el punto decimal hasta su primera cifra decimal significativa. 

5. Cologaritmos y antilogaritmos.

   Llamamos cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso. Entendemos el inverso como el cociente entre la unidad y dicho número. 

   

   A la hora de operar con logaritmos negativos es más aconsejable utilizar sus cologaritmos a fin de convertir una resta de logaritmos en una suma de logaritmos y cologaritmos ya que nos facilitará operar sobre todo con las mantisas que como sabemos son siempre positivas.

   Cuando operamos con logaritmos quizás nos interese saber cual es el resultado de elevar la base a dicho logaritmo; es lo que llamamos antilogaritmo. Por ejemplo si el logaritmo de 8 es  0,903090 el antilogaritmo de 0,903090 es 8.

   Existen muchas tablas de diferentes autores sobre como calcular los logaritmos. Yo he creado una hoja de cálculo en excel para facilitar las búsqueda tanto de logaritmos, Cologaritmos y antilogaritmos. Para descargártela pulsa aquí.     

         

6. Operaciones matemáticas por medio de logaritmos.

   Vamos a realizar varios ejemplos de operaciones con logaritmos aplicando lo visto hasta ahora.

              

7. Ecuaciones exponenciales.

   Las ecuaciones exponenciales son aquellas en que la incógnita se encuentra en el exponente de una potencia. Para resolver este tipo de ecuaciones aplicaremos las leyes de los logaritmos estudiadas en ambos miembros de la ecuación, puesto que esto no modificará la igualdad entre ambos. Veámoslo con un ejemplo.