Trigonometría (1). Introducción.

1. Trigonometría. Razones trigonométricas.

   La trigonometría es la parte de las matemáticas que se encarga de estudiar los triángulos, determinando los valores de sus ángulos y lados. 

   Existen seis posibles razones trigonométricas para un ángulo cualquiera. Pero ¿Qué entendemos por razón? La razón es la relación, o cociente, entre dos de los lados de un triángulo. Estas razones, por lógica, serán  las mismas para los ángulos homólogos de triángulos semejantes, independientemente de la longitud de sus lados. Para hallar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, trabajaremos con triángulos rectángulos, pues son más fáciles de manejar.

   Supongamos el siguiente triángulo rectángulo:

   Cada vértice está representado por una letra mayúscula, en este caso forman el triangulo ABC. El lado opuesto a cada vértice vendrá representado por la misma letra en minúscula, así el lado opuesto al vértice A será el lado a, el lado opuesto al vértice B será el lado b y el lado opuesto al vértice C será el lado c. Cada ángulo vendrá representado por una letra griega. Vamos a considerar las siguientes razones trigonométricas:

   Observando las fórmulas de las diferentes razones trigonométricas entenderemos por qué las razones de ángulos rectángulos semejantes no varían, ya que estas dependen del ángulo y no del triángulo. Veamos un ejemplo en el que nos dan la medida de sus dos catetos. Deberemos hallar el lado restante y el valor de sus ángulos.

   Una vez sabemos que uno de los ángulos agudos es de 60º, y teniendo en cuenta que otro de los ángulos es de 90º, deduciremos que el ángulo restante medirá 30º, ya que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo ha de ser 180º.

   Ahora comprobaremos como en triángulos semejantes la razón de sus ángulos no varía.

2. Relación entre las razones trigonométricas de los ángulos.

   Existen varias relaciones de los ángulos agudos de un triángulo que nos pueden servir de mucha ayuda a la hora de resolver problemas de trigonometría.

1) El seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario.

     En un triángulo rectángulo la suma de los dos ángulos agudos siempre da como resultado un ángulo recto, o sea 90º, por lo que serán complementarios.

2) La suma de los cuadros del seno y coseno de un mismo ángulo es igual a la unidad.

3) La tangente de un ángulo es igual al cociente que resulta de dividir su seno por su coseno.

4) La cotangente de un ángulo es igual al cociente que resulta de dividir su coseno por su seno.

 
5) La secante de un ángulo es igual al cociente que resulta de dividir la unidad por su coseno.

6) La cosecante de un ángulo es igual al cociente que resulta de dividir la unidad por su seno.

   La relación número 1 es la única que hace referencia a la relación entre distintos ángulos. La rezón nº 2 y la 3 son consideradas como razones fundamentales. Como podemos ver, teniendo como único dato cualquier razón trigonométrica de un ángulo podemos hallar el resto de razones utilizando las relaciones explicadas.

   Veamos dos ejercicios de ejemplo:

3. Tablas trigonométricas naturales.

   Gracias a la tecnología, hoy en día disponemos de calculadoras científicas que nos proporcionan el valor de las razones trigonométricas de un ángulo de forma inmediata. Igualmente nos pueden indicar los grados de un ángulo del que conocemos el valor de una de sus razones trigonométricas. 

   Sin embargo, hasta no hace mucho, no era así. Las calculadoras podían realizar las operaciones básicas de la aritmética, relegando otras operaciones más complejas, como las tablas trigonométricas, a la documentación escrita. Todavía recuerdo cuando teníamos que comprar en las papelerías de barrio, una diminuta cartilla de 6 hojas, donde se encontraban los valores de los senos, cosenos y tangentes para ángulos de hasta 89º.

   La tecnología ha reducido considerablemente el tiempo necesario para la búsqueda de estos datos, sobre todo cuando la precisión del ángulo llega a los segundos. Por mi parte he creado en Excel un pequeño programa que realiza el cálculo aproximado (a la cienmilésima) de las razones trigonométricas de un ángulo dado, incluyendo minutos y segundos. Pulsando aquí podréis acceder a la descarga.

4. Razones trigonométricas de ángulos de 30º 45º y 60º

   Los triángulos rectángulos cuyos ángulos agudos son de 30º, 45º y 60º se utilizan con mucha frecuencia en geometría. Vamos a estudiar cuales son sus razones trigonométricas.

1) Razones trigonométricas de un ángulo de 30º.

2) Razones trigonométricas de un ángulo de 60º.

3) Razones trigonométricas de un ángulo de 45º.

   Como podéis comprobar, hasta ahora sólo hemos trabajado con ángulos agudos. En el próximo tema, trabajaremos con diferentes tipos de ángulos. Simplemente decir que las razones trigonométricas de cualquier ángulo mayor a un recto se pueden calcular buscando el ángulo agudo equivalente en un proceso de conversión que se denomina reducción de un ángulo al primer cuadrante.