Trigonometría (2). Resolución de triángulos rectángulos.

1. Signo de las razones trigonométricas.

   Todo ángulo se puede representar en un sistema de coordenadas. Un lado del ángulo, que llamaremos fijo, coincidirá con la parte positiva del eje de abcisas (x), y el el otro lado, que llamaremos variable, vendrá determinado por la amplitud del ángulo. Cuando la obertura se realice en el sentido contrario a las agujas del  reloj se considerará el ángulo como positivo, y en caso contrario como negativo. Dependiendo del grado de la obertura, el ángulo estará situado en uno de los cuatro cuadrantes del eje de coordenadas.

   Dependiendo del cuadrante hasta el que se desplace el lado variable del ángulo, el punto P (x, y) que determinemos sobre él, tendrá la abcisa y la ordenada con signo positivo o negativo, lo que determinará sin duda el valor de cada razón trigonométrica. Considerando que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, vamos a determinar dichos valores.

2. Ángulos que limitan los cuadrantes y sus razones trigonométricas.

   Existen cuatro ángulos que limitan con los cuadrantes del eje de coordenadas. Estos son los ángulos de 0º (o 360º), 90º, 180º y 270º. Vamos a buscar sus razones trigonométricas.


1. Razones trigonométricas de un ángulo de 0º.

  

2. Razones trigonométricas de un ángulo de 90º.

3. Razones trigonométricas de un ángulo de 180º.

4. Razones trigonométricas de un ángulo de 270º.

   Si seguimos ampliando el ángulo <PON hasta los 360º, nos encontraremos en la misma situación que con el ángulo de 0º, por lo que las razones trigonométricas de ambos serán dénticas. Igualmente si ampliamos 90º más hasta los 450º, las razones de ambos ángulos (90º y 450º) también serán idénticas. Así pues podemos decir que las razones trigonométricas son periódicas en rangos de 360º.

   En resumen...

3. Circunferencia trigonométrica. Reducción de ángulos al primer cuadrante.

   Llamamos circunferencia trigonométrica, o goniométrica, a una circunferencia de radio unidad representada en un eje de coordenadas, cuyo centro coincide con el origen de coordenadas. Si representamos un punto P en la circunferencia y trazamos una perpendicular al eje de abcisas, se producirá un corte en un punto de dicho eje que llamaremos N. De esta manera se creará un triángulo rectángulo delimitado por los puntos P, N y el eje de coordenadas. 

   Dicho triángulo tiene la particularidad de que su hipotenusa (OP) medirá 1, por lo que el seno del ángulo <PON vendrá representado por su ordenada (PN) y el coseno por su abcisa (ON).

   

   Las razones trigonométricas de los ángulos situados en el segundo, tercer y cuarto cuadrante, se podrán calcular relacionándolos con su correspondiente ángulo agudo del primer cuadrante en un proceso denominado reducción de ángulos al primer cuadrante.


   Vamos a ver como realizar este procedimiento.

1) Ángulos del segundo cuadrante.

   Como podemos ver, las razones trigonométricas de un ángulo son iguales en valor absoluto a las razones trigonométricas del su ángulo complementario pero con el signo contrario, excepto seno y cosecante que tienen el mismo signo.


2) Ángulos del tercer cuadrante.

3) Ángulos del cuarto cuadrante.

   Resulta una aberración tener que aprenderse la relación de las razones trigonométricas de los cuadrantes segundo, tercero y cuarto con las del primero. Si solamente tenemos en cuenta el valor del seno y coseno de cada cuadrante, que se corresponden con el valor de y y de x respectivamente, podremos averiguar la relación de cada razón. 

   Por ejemplo, si nos fijamos en un eje de coordenadas (y teniendo en cuenta que todas las razones trigonométricas del primer cuadrante son positivas), veremos que en el segundo cuadrante las x, que corresponden al valor del coseno, son negativas, por lo que el coseno del segundo cuadrante será de signo contrario al del primer cuadrante. Como las y del segundo cuadrante, que corresponden al valor del seno, son positivas, el seno será de igual signo que el del primer cuadrante. 

   El resto de razones están relacionadas con el seno y coseno del ángulo, así que bastará que calculemos el signo en relación a ellos. Por ejemplo, al ser el seno del segundo cuadrante positivo y el coseno negativo, el cociente entre ambos también será negativo, por lo que la tangente y cotangente del segundo cuadrante, que son el cociente entre ambos, serán de signo contrario a las del primero, 

   Finalmente la secante siempre tendrá el mismo signo que el coseno, pues es el cociente entre la unidad y éste, y la cosecante tendrá el mismo signo que el seno, pues es el cociente entre la unidad y este otro. Con respecto al segundo cuadrante la secante será de signo contrario a la del primer cuadrante y la cosecante será del mismo signo. 

4. Razones trigonométricas de un ángulo negativo.

  Las tres últimas razones trigonométricas las hemos calculado utilizando la relación entre razones de un mismo ángulo para abreviar la demostración.

5. Resolución de triángulos rectángulos.

   La resolución de triángulos rectángulos es de gran aplicación para el estudio de triángulos isósceles, polígonos regulares, calculo de cuerdas, etc... Vamos a realizar una serie de ejercicios resueltos, comenzando con algunos sencillos para después ir subiendo el nivel de dificultad.