Nota: Es interesante conocer los teoremas principales sobre múltiplos y divisibilidad para entender mejor algunos conceptos que aquí se explican. Al final encontraras varios enlaces sobre el tema.
Divisibilidad por 10.
Sabemos que cuando dividimos un número entre una potencia de 10, para hallar el cociente debemos mover en dicho número la coma decimal hacia la izquierda tantos dígitos como ceros tiene la potencia. Por ejemplo:
1.258 : 10 = 125,8
1.258 : 100 = 12,58
1.258 : 1.000 = 1,258
1.258 : 10.000 = 0,1258
Así pues, podemos decir que un número será divisible por una potencia de 10, cuando los decimales que se generen en el cociente sean únicamente ceros.
10.000 : 10 = 1.000,0 = 1.000
10.000 : 100 = 100,00 = 100
10.000 : 1.000 = 10,000 = 10
25.230 : 10 = 2.523,0 = 2.523
25.230 : 10 = 2.523,0 = 2.523
Luego:
- Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.
- Un número es divisible por 100 cuando termina en 00.
- Un número es divisible por 1000 cuando termina en 000.
- etc....
Divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2 cuando termina en 0 o cifra par.
- el número termina en 0
Sabemos que 10 es divisible por 2 porque lo contiene 5 veces (10 : 2 = 5), por lo tanto cualquier múltiplo de 10 también será divisible por 2, porque todo número que divide a otro, también divide a sus múltiplos.(teorema sobre la divisibilidad).
Sea el número a múltiplo de 10.
Sea el número a múltiplo de 10.
a = n · 10 = m. de 10 (múltiplo de 10)
10 = 2 · 5
a = n . 10
a = n · (2 · 5)
a = 5n · 2 = m. de 2 (múltiplo de 2)
a es divisible por 2 porque lo contiene 5 · n veces.
a es divisible por 2 porque lo contiene 5 · n veces.
- el número termina en 2
Sabemos que los números pares 2, 4 , 6 y 8 son divisibles entre 2.
Todo número mayor que 10 se puede descomponer en una suma de un múltiplo de 10 más las unidades indicadas por la última cifra. Por ejemplo:
3.268 = 3.260 + 8.
1.325 = 1.320 + 5.
En cualquier caso el primer sumando siempre será divisible por 2, porque como hemos visto en el apartado anterior cualquier número acabado en 0 es divisible por 2. El segundo sumando será divisible por 2 si corresponde a un 2, 4 , 6 o 8. De esta manera al ser divisibles por 2 ambos sumandos su suma también lo será (Teoría de la divisibilidad). De todas maneras como en la descomposición el primer sumando siempre será divisible por 2, basta que nos fijemos que el segundo sumando lo sea (o sea la última cifra del número).
En los ejemplos anteriores sólo 3.268 será divisible por 2 porque sus sumandos 3.260 y 8 son divisibles por 2.
Divisibilidad por 5.
Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5.
- El número termina en 0.
Sea el número a = 10 · n, que terminará en 0 para cualquier valor entero que asignemos a n. (o sea un múltiplo de 10)
a = 10 · n
a = 5 · 2 · n
a = 5 · (2 · n) = m. de 5.
Vemos que a es divisible por 5 porque lo contiene 2 · n veces.
Vemos que a es divisible por 5 porque lo contiene 2 · n veces.
Ejemplo n = 7
a = 10 · 7 = 70
a = 2 · 5 · 7
a = 5 · (2 · 7)
a = 5 · 14 = m. de 5 = 70
Vemos que 70 es divisible por 5 porque lo contiene 2 · 7 (= 14) veces.
Vemos que 70 es divisible por 5 porque lo contiene 2 · 7 (= 14) veces.
- El número termina en 5
Sea el número a = 10 · n + 5, que terminará en 5 para cualquier valor entero de n.
a = 10 · n + 5
a = (5 · 2 · n) + 5
a = 5 · (2 · n + 1) = m. de 5
a es divisible por 5 porque lo contiene 2 · n + 1 veces.
a es divisible por 5 porque lo contiene 2 · n + 1 veces.
Ejemplo: n = 3
a = 10 · 3 + 5 = 35
a = 5 · 2 · 3 + 5
a = 5 · [(2 · 3) + 1]
a = 5 · (6 + 1)
a = 5 · 7 = m. de 5 = 35
Vemos que 35 es múltiplo de 5 porque lo contiene 2 · 3 + 1 (= 7) veces.
Si descomponemos el número 35
Vemos que 35 es múltiplo de 5 porque lo contiene 2 · 3 + 1 (= 7) veces.
Si descomponemos el número 35
35 = 30 + 5 ; (10 · n + 5)
podemos ver que los dos términos de la suma son divisibles por 5, por lo que su suma también será divisible por 5 (teoría de la divisibilidad).
Divisibilidad por 4.
Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son 0 o divisibles por 4.
- Sus dos últimas cifras son 0.
Partimos de la base que 100 es múltiplo de 4 porque lo contiene 25 veces (100 = 4 · 25).
Sea un número a que termina en 00.
a = 100 · n
a = 4 · 25 · n
a = 4 · (25 · n) = m. de 4
a es divisible por 4 porque lo contiene 25 . n veces.
a es divisible por 4 porque lo contiene 25 . n veces.
Ejemplo: sea n = 6
a = 100 · 6 = 600
a = 4 · 25 · 6
a = 4 · (150) = m. de 4 = 600
Vemos que 600 es divisible por 4 porque lo contiene 25 · 6 (= 150) veces.
Vemos que 600 es divisible por 4 porque lo contiene 25 · 6 (= 150) veces.
- Sus dos ultimas cifras son divisibles por 4.
Sea a = 100 · n + 4 · n' (n' < 25), que sus dos últimas cifras son divisibles por 4.
a = 100 · n + 4 · n'
a = 4 · 25 · n + 4 · n'
a = 4 · (25 · n + n') = m. de 4
a es divisible por 4 porque lo contiene 25 · n + n' veces.
a es divisible por 4 porque lo contiene 25 · n + n' veces.
Ejemplo n = 12 ; n' = 16
a = 100 · 12 + 4 · 16 = 1.264
a = 4 ·25 · 12 + 4 · 16
a = 4 · (25 · 12 + 16)
a = 4 · (300 + 16)
a = 4 · 316 = m. de 4 = 1.264 ( 64 : 4 = 16).
Vemos que 1.264 es divisible entre 4 porque lo contiene 25 · 12 + 16 (= 316) veces.
Vemos que 1.264 es divisible entre 4 porque lo contiene 25 · 12 + 16 (= 316) veces.
Si descomponemos el número 1.264
1.264 = 1200 + 64 ; (100 ·n + 4 · n')
podemos ver que los dos términos de la suma son divisibles por 4, por lo que su suma también será divisible por 4 (teoría de la divisibilidad).
Divisibilidad por 3.
Para entender la divisibilidad por 3 tendremos que tener primero en cuenta que:
- La unidad seguida de cualquier cantidad de ceros es igual a un múltiplo de tres más la unidad.
10 = 3 · 3 +1
100 = 33 · 3 +1
1.000 = 333 · 3 +1
etc. ............
- Una cifra significativa, seguida de cualquier número de ceros, es igual a un múltiplo de 3 más la misma cifra.
40 = 10 · 4 = (3 · 3 + 1) · 4 = 3 · (3 · 4) + 4 = m. de 3 + 4
Hemos sustituido el 10 por su valor 3 · 3 + 1, lo que al multiplicarlo por 4, nos genera un múltiplo de 3, 3 · (3 · 4), más cuatro unidades.
Vamos a ver dos ejemplos más:
600 = 100 · 6 = (3 · 33 + 1) · 6 = 3 · (33 · 6) + 6 = m. de 3 + 6
5.000 = 1.000 · 5 = (3 · 333 + 1) · 5 = 3 · (333 · 5) + 5 = m. de 3 + 5
- Todo número entero es igual a un múltiplo de 3 más la suma de los valores absolutos de sus cifras.
Sea el número 3.714.
Vamos a descomponerlo en múltiplos de 10.
3.714 = 3.000 + 700 + 10 + 4
3.174 = 3 · 1.000 + 7 · 100 + 1 · 10 + 4
3.174 = 3 · (3 · 333 + 1) + 7 · (3 · 33 + 1) + 1 · (3 · 3 + 1) + 4
3.174 = 3 · (3 · 333) + 3 + 3 · (7 · 33) + 7 + 3 · (1 · 3) + 1 + 4
3.174 = m. de 3 + 3 + m. de 3 + 7 + m. de 3 + 1 + 4
Teniendo en cuenta el teorema de que la suma de varios múltiplos de un número da
como resultado otro múltiplo de dicho número, podemos decir que:
3.174 = m. de 3 + (3 + 7 + 1 + 4) = m. de 3 + 15
Una vez vistos estos tres puntos podemos afirmar que:
Un número es divisible por 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es un múltiplo de 3.
Si tenemos en cuenta la afirmación que demostramos en el tercer punto de que todos los números enteros son múltiplos de 3 más el valor absoluto de la suma de sus cifras y resulta, que la suma del valor absoluto de sus cifras también es un múltiplo de 3, estaremos ante la suma de dos múltiplos de 3, lo que dará como resultado, según uno de los teoremas de los múltiplos, otro múltiplo de 3. (Hay que ver con los múltiplos de tres, están hasta en la sopa).
En el ejemplo anterior 3.174 será divisible por 3, pues la suma de sus cifras da como resultado 15, que es divisible por 3.
3.174 = m. de 3 + 15 = m. de 3 + 3 · 5 = m. de 3 + m. de 3 = m. de 3.
Divisibilidad por 11.
Para entender la divisibilidad por 11 tendremos que tener primero en cuenta que:
- La unidad seguida de un número par de ceros es igual a un múltiplo de once más la unidad.
100 = (11 · 9) + 1 = m. de 11 + 1
10.000 = (11 · 909) + 1 = m. de 11 + 1
1.000.000 = (11 · 90.909) + 1 = m. de 11 + 1
etc. .....................
- La unidad seguida de un número impar de ceros es igual a un múltiplo de once menos la unidad.
10 = (11 · 1) - 1 = m. de 11 - 1
1.000 = (11 . 91) - 1 = m. de 11 - 1
100.000 = (11 · 9.091) - 1 = m. de 11 - 1
etc. ..........................
- Una cifra significativa , seguida de un número par de ceros, es igual a un múltiplo de 11 más la misma cifra.
500 = 100 · 5 = (11 · 9 + 1) · 5 = 11 · 9 · 5 + 5 = 11 · (9 · 5 ) + 5 = m. de 11 + 5
70.000 = 10.000 · 7 = (11 · 909 + 1) · 7 = 11 · 909 · 7 + 7 = 11 · (909 · 7) + 7 = m. de 11 + 7
- Una cifra significativa, seguida de un número impar de ceros, es igual a un número múltiplo de 11 menos la misma cifra.
80 = 10 · 8 = (11 · 1 - 1) · 8 = 11 · ( 8 · 1) - 8 = m. de 11 - 8
4.000 = 1.000 · 4 = (11 · 91 - 1) · 4 = 11 · (4 · 91) - 4 = m. de 11 - 4
- Todo número es múltiplo de 11, más la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, contando de derecha a izquierda.
Veamos por ejemplo el número 46.519.
46.519 = 40.000 +6.000 + 500 + 10 + 9
46.519 = 4 · 10.000 + 6 · 1.000 + 5 · 100 + 1 · 10 + 946.519 = 4 · (11 · 909 + 1) + 6 · (11 · 91 - 1) + 5 · (11 · 9 + 1) + 1 · (11 · 1 - 1) + 9
46.519 = 11 · (4 · 909) + 4 + 11 · (6 · 91) - 6 + 11 · (5 · 9) + 5 + 11 · (1 · 1) - 1 + 9
46.519 = m. de 11 + 4 + m. de 11 - 6 + m. de 11 + 5 + m. de 11 - 1 + 9
46.519 = m. de 11 + 4 - 6 + 5 - 1 + 9 ; (aplicación del teorema expuesto)
46.519 = m. de 11 +18 - 7 = m. de 11 + 11.
Una vez visto los puntos anteriores podemos afirmar que:
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par , de derecha a izquierda, es 0 o múltiplo de 11.
Casos posibles:
a. Que la diferencia entre las cifras de lugar impar y las cifras de lugar par sea múltiplo de 11.
Es el caso del ejemplo anterior.
45.519 = m. de 11 + 11
Nos encontramos con una suma en la que ambos sumandos son múltiplos de 11, por lo que su suma también dará como resultado un múltiplo de 11.
b. Que la diferencia entre las cifras de lugar impar y las cifras de lugar par sea 0.
Por ejemplo
37.279 = m. de 11 + 14 - 14 = m. de 11 + 0 = m. de 11.
Nos encontramos con un múltiplo de 11.
c. Que la diferencia entra las cifras de lugar impar y las cifras de lugar par sea negativa.
Por ejemplo:
18.293 = m. de 11 + 6 - 17.
En este caso le sumaremos al primer sumando un múltiplo de 11 hasta que la diferencia sea positiva. Aquí bastará con sumarle 11 a 6.
18.293 = m. de 11 + 6 +(11) - 17 = m. de 11 + 17 - 17 = m. de 11 - 0 = m. de 11.
Otro ejemplo:
918.291 = m. de 11 + 4 - 26 = m. de 11 + 4 + (22) - 26 = m. de 11 + 26 - 26
918.291 = m. de 11 - 0 = m. de 11.
Divisibilidad por 7
Para saber si un número es divisible por 7 seguiremos los siguientes pasos:
1. Separamos la primera cifra de la derecha.
2. La multiplicamos por 2.
3. Restamos el producto obtenido de lo que queda a la izquierda del número. Si el sustraendo de la resta fuera mayor que el minuendo se invierten los términos.
4. Seguiremos los tres pasos anteriores, hasta que de 0 o un múltiplo de 7 reconocible.
Vamos a verlo en forma de esquema.
Vamos a varios ejemplos:
2.646 ; 264|6 · 2 = 12
- 12
25|2 · 2 = 4
- 4
21 = 7 · 3 = m. de 7
5.845 ; 584|5 · 2 = 10
- 10
57|4 · 2 = 8
- 8
49 = 7 · 7 = m. de 7
392 ; 39|2 · 2 = 4
- 4
3|5 · 2 = 10
- 10
7 = m. de 7
2.646 ; 264|6 · 2 = 12
- 12
25|2 · 2 = 4
- 4
21 = 7 · 3 = m. de 7
5.845 ; 584|5 · 2 = 10
- 10
57|4 · 2 = 8
- 8
49 = 7 · 7 = m. de 7
392 ; 39|2 · 2 = 4
- 4
3|5 · 2 = 10
- 10
7 = m. de 7
Hemos forzado este último ejemplo para señalar que si el sustraendo fuera mayor que el minuendo realizaremos la resta cambiándolos de posición.
La explicación del teorema del 7 es un poco más compleja, pero vamos a explicarla lo más sencillamente posible.
Nota: Este mismo teorema se aplica para la divisibilidad por 13,17 y 19 por lo que sólo lo explicaremos esta vez.
Nota: Este mismo teorema se aplica para la divisibilidad por 13,17 y 19 por lo que sólo lo explicaremos esta vez.
Sea un número A tal que:
Por ejemplo el número 2.646 del ejemplo anterior se descompondría como:
1. Separamos la primera cifra de la derecha.
Sea el numero B que resulta de eliminar la cifra de las unidades de A (C0)
Al eliminar las unidades las cifras se mantienen pero los exponentes de las potencias de 10 se ven reducidas en una unidad. La cifra de las decenas pasará a ser la de las unidades, la de las centenas pasará a ser la de las decenas, etc.
Podemos establecer la igualdad siguiente.
A = B · 10 + C0 (1)
2.646 = 264 · 10 + 6
2. La multiplicamos por 2.
Si la cifra de las unidades es C0 al multiplicarla por 2 nos quedará 2 · C0
3. Restamos el producto obtenido de lo que queda a la izquierda del número. Si el sustraendo de la resta fuera mayor que el minuendo se invierten los términos.
Según la hipótesis se ha de cumplir que al restar las unidades multiplicadas por 2 a lo que nos queda del número, nos tiene que dar como resultado un múltiplo de 7 o 0 :
B - 2 · C0 = 7 · n
264 - 2 · 6 = 252 = 7 · 36 = m. de 7
Siendo 7 · n un múltiplo de 7 para cualquier entero de n > 0 o 0 para n = 0.
Despejamos B.
B = (7 · n) + (2 · C0)
264 = (7 · 36) + (2 · 6)
Sustituimos B en la igualdad (1).
A = [(7 · n) + (2 · C0)] · 10 + C0
A = 10 · (7 · n) + 10 · (2 · C0) + C0
A = 70 · n + 20 · C0 + C0
A = 70 · n + C0 · (20 + 1)
A = 70 · n + 21 · C0
A = 7 · (10 · n + 3 · C0)
2.646 = 7 · (10 · 36 + 3 · 6)
Así pues queda demostrado que A es múltiplo de 7 porque lo contiene (10 · n - 3 · C0) veces.
Divisibilidad por 13
1. Separamos la primera cifra de la derecha.
2. La multiplicamos por 9.
3. Restamos el producto obtenido de lo que queda a la izquierda del número. Si el sustraendo de la resta fuera mayor que el minuendo se invierten los términos.
4. Seguiremos los tres pasos anteriores, hasta que de 0 o un múltiplo de 13 reconocible.
Veamos varios ejemplos:
10.205; 10.20|5 · 9 = 45
- 45
97|5 · 9 = 45
- 45
5|2 · 9 = 18
- 18
13 = m. de 13
1.043 ; 1.04|3 · 9 = 27
- 27
7|7 · 9 = 63
-63
56 = (13 · 4) + 4 = no es m. de 13
Divisibilidad por 17
La regla para saber si un número es divisible por 17 es muy similar a la del 7 y 13. Seguiremos los siguientes pasos.
1. Separamos la primera cifra de la derecha.
2. La multiplicamos por 5.
3. Restamos el producto obtenido de lo que queda a la izquierda del número. Si el sustraendo de la resta fuera mayor que el minuendo se invierten los términos.
4. Seguiremos los tres pasos anteriores, hasta que de 0 o un múltiplo de 17.
Veamos varios ejemplos:
4.301 ; 4.30|1 · 5 = 5
- 5
42|5 · 5 = 25
- 25
17 = m. de 17
3.932 ; 3.93|2 · 5 = 10
-10
38|3 · 5 = 15
- 15
23 = (17 · 1) + 6 = no es m. de 17
Divisibilidad por 19
La regla para saber si un número es divisible por 19 es muy similar a la del 7,13 y 19. Seguiremos los siguientes pasos.
1. Separamos la primera cifra de la derecha.
2. La multiplicamos por 17.
3. Restamos el producto obtenido de lo que queda a la izquierda del número. Si el sustraendo de la resta fuera mayor que el minuendo se invierten los términos.
4. Seguiremos los tres pasos anteriores, hasta que de 0 o un múltiplo de 19.
7.125 ; 7.12|5 · 17 = 85
- 85
62|7 · 17 = 119
- 119
57 = 19 · 3 = m. de 19
8.665 = 8.66|5 · 17 = 85
- 85
78|1 · 17 = 17
- 17
6|1 · 17 = 17
- 17
11 = 19 · 1 - 8 = no es m. de 19
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