Los números.

1. Los números. Introducción.

   Podemos definir los números como símbolos que utilizamos para representar cantidades. Según su naturaleza podemos englobar los números en diferentes grupos. Veámoslo en forma de esquema.

2. Los números naturales, enteros y racionales.

   Existen muchas definiciones sobre lo que es un número natural como por ejemplo la que lo describe como un ente abstracto con el que representamos los elementos que componen un conjunto. Quizás la forma más sencilla de entenderlo sea la que nos dice que son aquellos números que utilizamos para contar. Los números naturales los representamos con el símbolo N.

   Utilizamos este tipo de números en nuestra vida cotidiana para cuantificar cosas o numerarlas. Por ejemplo: 5 coches, 3 motos , 6º piso, etc. Con los números naturales podemos realizar operaciones de composición  como la suma y la multiplicación y el resultado será otro número que pertenecerá al mismo grupo de los naturales. Mención especial merece el numero 0, que algunas teorías lo incluyen dentro del grupo de números naturales y otras lo excluyen. La realidad es que no tiene mucha importancia, nosotros consideraremos el 0 simplemente como la ausencia de cantidad.

   El problema de los números naturales lo encontramos cuando realizamos con ellos operaciones de descomposición tales como la sustracción. Por ejemplo, podemos pagar 3€ con un billete de 10€ y nos quedarían 7€ (10€ - 3€ = 7€). Pero no podemos pagar 12€ con el billete de 10€ pues no disponemos de suficientes euros. Sí podríamos plantearlo como que entregamos los 10€ y debemos 2€. Para ello debemos ampliar el conjunto de los números naturales al de los números enteros (10€ - 12€ = -2€).

   El grupo de los números enteros está formado por los números naturales, el cero y los números negativos y se representan mediante el símbolo Z. 

   Podemos decir que los números naturales están incluidos dentro del conjunto de los números enteros.

    Con los números enteros podemos realizar sumas, restas y multiplicaciones y el resultado sería otro número entero. Sin embargo no podemos realizar divisiones que no sean exactas pues el resultado no sería otro número entero. Por ejemplo no podríamos calcular la quinta parte de una docena de huevos. Esta operación nos dejaría una fracción que no tiene solución dentro de los números enteros.

    Llamamos número fraccionario al cociente indicado de dos números enteros llamados numerador y denominador, teniendo en cuenta que el denominador será distinto de 0. Todo numero que se pueda expresar como una fracción es un número racional. El conjunto formado por todos los números enteros, más los fraccionarios es lo que llamamos el grupo de números racionales. Denotaremos el grupo de los números racionales con la letra Q.

   Podemos decir que los números enteros están incluidos dentro de los números racionales. Todo número racional se puede expresar en su forma fraccionaria, pero también se puede expresar de forma decimal. 

      

    

3. Conversión de un número decimal en fracción.

   Hemos visto como convertir una fracción en su número decimal y los distintos tipos de números decimales que se pueden obtener. Ahora vamos a ver como realizar la operación inversa, es decir como convertir un número decimal en fraccionario. Para cada tipo de número decimal seguiremos un procedimiento diferente.

   4. Representación gráfica de los números racionales.

    Los números racionales se representan sobre una recta llamada Recta racional. Situaremos el 0 como punto de origen sobre la recta y eligiendo una medida determinada como unidad situaremos los enteros positivos a la derecha del 0 y los enteros negativos a su izquierda.

  

   Como sabemos los números racionales están formados por una parte entera más una fracción de la unidad. Para representarlos en la recta racional lo más sencillo es transformar la fracción en número mixto que nos indicará su parte entera y la parte fraccionaria de la unidad por separado.

   Los números racionales poseen una propiedad llamada densidad. esta propiedad nos dice que entre dos números racionales siempre podremos encontrar infinitos números racionales. Por ejemplo entre 5/8 y 6/8 podemos encontrarnos con 11/16 (hemos de tener en cuenta que 5/8 es igual que 10/16 y que 6/8 es igual que 12/16 por lo que 11/16 estará en medio. Por el mismo motivo podemos encontrar 26/40; 27/40 ; 28/40 ; etc). Esta propiedad no la cumplen los números enteros pues entre dos números enteros consecutivos no podemos intercalar otro.

5. Números irracionales.

    Los números irracionales son aquellos números con infinitas cifras decimales que no se repiten, por ello se llaman también inconmensurables. Si admitimos que su parte decimal es infinita y no se repite entonces hemos de entender que los números irracionales no se pueden obtener a través de una fracción pues como sabemos éstas sólo nos pueden dar números decimales exactos, periódicos puros o periódicos mixtos.

   ¿Cómo se obtienen estos números?. Si un número entero no tiene raíz cuadrada exacta, tampoco tendrá raíz cuadrada decimal exacta por lo que podemos deducir que toda raíz cuadrada no exacta es un número irracional. Son números irracionales:

                                        

                               

   Si calculamos la raíz de 5 con una calculadora veremos que el resultado es 2,2360679....Si añadiéramos más cifras decimales veríamos que no se repiten ni se acaban.  

   Vamos a demostrar que raíz de 5 no puede ser un número racional y por lo tanto tendrá que ser irracional. Para ello utilizaremos el método de lo absurdo. Es decir vamos a suponer que la raíz cuadrada de 5, sí es un número racional y operando vamos a tratar de llegar a alguna afirmación que sabemos que es falsa, por lo que la suposición inicial de que la raíz cuadrada de 5 es un número real, también será falsa.

   El conjunto de los números racionales e irracionales forman el grupo de los números reales y constituyen todos los números decimales posibles. Este grupo de números se representa por la letra R. Podemos decir que:

   

6. Representación gráfica de los números irracionales.

   Los números irracionales al estar incluidos dentro del grupo de los reales también se podrán representar dentro de la recta real. El método para hacerlo es un poco más complicado. Para ello utilizaremos el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, vamos a representar en la recta real la raíz cuadrada de 5.

    ¿Pero que pasa cuando la suma de los cuadrados de los catetos no es igual al número irracional que queremos representar en la recta real?. Supongamos raíz de 11.

   Al igual que los números racionales, los números irracionales también cumplen con la propiedad de densidad, es decir entre dos números irracionales podemos encontrar infinitos números irracionales.

7. Los números complejos.

   Hay ciertas operaciones que no se pueden realizar utilizando los números reales. Por ejemplo:

8. Representación de los números complejos.

   Al contrario de los números reales que se representan sobre la recta real, los números complejos se representan sobre un plano llamado plano complejo.

   El plano complejo se representa a través de dos ejes, uno horizontal llamado eje real y otro vertical llamado eje imaginario. Como podemos imaginar el número complejo se representará como un punto de coordenadas del tipo (a, b) donde a será su parte racional representado en el eje horizontal y b su parte imaginaria representada sobre el eje vertical. El punto (a, b) se llama afijo del número complejo.