Números primos y compuestos.

1. Concepto general de número primo y número compuesto.

   Podemos definir número primo como aquel número que sólo es divisible por la unidad y por si mismo. Son números primos por ejemplo:

                                                                      2, 3, 5, 7 ......

   Número compuesto es aquel que aparte de por si mismo y la unidad, también puede ser dividido por uno o varios números más. Por ejemplo:

                                                              4, 6, 8, 9, 10, 12 .....

   Como podemos observar 4 además de poderse dividir por 4 y 1 también puede ser dividido por 2. El número 12 puede ser dividido por 12, 6, 4, 3, 2 y 1 por lo que lo definiremos igualmente como número compuesto.

   El número 1 no está considerado como número primo y mucho menos como compuesto. Si atendemos a su definición más simple, un número primo tiene exactamente dos divisores, la unidad y él mismo, y el 1 sólo tiene un divisor (1). Existen muchas más razones para considerar el número 1 como no primo, pero serán objeto de estudio en otros capítulos. 

   Para averiguar si un número es primo lo dividiremos por todos los números primos menores que él ordenadamente de menor a mayor (empezamos por 2, 3, 5, 7...). Si alguna división fuera exacta podemos descartar que se trate de un número primo, pues esto nos indicaría que es múltiplo de otro número. Seguiremos realizando las divisiones mientras sean inexactas y hasta que el cociente sea menor o igual al divisor. Al llegar a este caso podemos afirmar que estamos tratando con un número primo. Pongamos un ejemplo para entenderlo mejor:

  
Sea el número 149. Veamos si es un número primo. Comenzamos dividiendo por 2.
                                                               

    Vemos que el residuo es 1 por lo que 149 no es múltiplo de 2. Seguimos con los siguientes números primos en orden ascendente...               

                                                              

  Hemos llegado al caso en que el cociente (11) es menor o igual que el divisor (13) y los residuos de las sucesivas divisiones siempre han sido diferentes a 0, por lo que podemos decir que 149 es un número primo.

 

2. Descomposición de un número en factores primos.

   Descomponer un número en factores primos significa expresarlo en forma de producto cuyos factores sean números primos.

   Todo número se puede expresar como el producto de al menos dos números primos,  incluso un número primo se puede expresar como el producto de si mismo por la unidad.

   Para descomponer un número en factores primos dividimos el número por el menor de sus divisores primos. El cociente obtenido de la división procedemos a dividirlo de igual modo por su menor divisor primo y así sucesivamente con el resto de cocientes que resulten hasta que obtengamos la unidad. Todos los divisores empleados son los factores primos del número descompuesto. Por ejemplo:

   Vamos a descomponer el número 864 en sus factores primos.

   Vemos que 864 es divisible por 2 (El tema de los criterios de divisibilidad lo trataremos en otro momento debido a su extensión.). El cociente resultante 432 también se podrá dividir entre 2; el cociente resultante de esta división que es 216 también será divisible entre 2. Veámoslo de forma global...

                                                                        864 : 2 = 432

                                                                 432 : 2 = 216

                                                                 216 : 2 = 108

                                                                 108 : 2 =   54

                                                                   54 : 2 =   27

 Llegados a este punto vemos que 27 ya no es divisible por 2, así que probamos con el siguiente número primo, en este caso el 3, y vemos que sí es divisible por él ...

                                                                   27 : 3 =     9

                                                                     9 : 3 =     3

                                                                     3 : 3 =     1

   Podemos decir entonces que 864 es el producto de los factores primos 2,2,2,2,2,3,3 y 3. Esto lo expresaremos de la siguiente manera para mejor comprensión: 

                                                       

      

3. Algunas consideraciones sobre los números primos.

• Todo número puede expresarse como producto de factores primos.
• No puede haber dos números diferentes con la misma expresión factorial, esta es única para cada número.
• Dos números son primos entre sí cuando no tienen ningún factor en común salvo la unidad, que es común en todos los números (todo número multiplicado por la unidad da como resultado el mismo número, por lo tanto la unidad es factor común de todos los números). Por ejemplo. 60 y 77.

• Dos números primos son primos entre sí.
• Dos números compuestos pueden ser primos entre sí (como en el ejemplo expuesto).

4. Como calcular todos los divisores de un número.

   Para calcular todos los divisores de un número lo primero que debemos hacer es descomponerlo en sus factores primos. Pongamos por ejemplo el número 5.040.

   El número de divisores se obtiene sumando la unidad a cada uno de los exponentes de los multiplicandos expresados y multiplicándolos después entre si.

               nº de divisores = (4 + 1) · (2 + 1) ·(1 + 1) · (1 + 1) = 5 · 3 · 2 · 2 = 60.

   Para identificar todos los divisores procederemos de la siguiente manera:

• Se escribe en una fila la unidad y todas las potencias del primer factor.

          

                                                fila ------   1     2     4     8     16

• La unidad de la fila será el primer término de una columna que estará seguida por las potencias del segundo factor (3 y 9) multiplicadas por las cantidades existentes en la columna que por ahora sólo es el 1 de la fila (1 · 3 = 3 , 1 · 9 = 9) . Seguidamente bajo estas últimas cantidades se colocan los productos de las potencias del tercer factor (en este caso sólo es 5) por las cantidades obtenidas hasta el momento en la columna 1, 3 y 9 ( 5 · 1 = 5 , 5 · 3 = 15 ; 5 · 9 = 45). Procederemos igual con las siguientes potencias de los factores multiplicadas por los números obtenidos hasta el momento en la columna. Nos queda el  7 que se multiplicará por las cantidades 1, 3, 9, 5, 15 y 45  (7 · 1 = 7 ; 7 · 3 = 21 ; 7 · 9 = 63 ; 7 · 5 = 35 ; 7 · 15 = 105 ; 7 · 45 = 315).

• Finalmente multiplicaremos cada número de la fila por cada número de la columna y así obtendremos todos y cada uno de los divisores.

    Si multiplicamos la cantidad de números en la fila por la cantidad de números en la columna nos dará el total de divisores (5 x 12 = 60).