Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

1. Máximo común divisor.

   Podríamos definir el máximo común divisor de varios números (m.c.d), como el mayor número que divide a todos ellos exactamente. Por ejemplo:

   Tenemos los números: 24, 18 y 12.

   Los números que lo dividen exactamente a los tres son 1, 2, 3, y 6. Los cuatro números indicados son divisores, pero el m.c.d será 6 porque es el mayor de todos. En este caso hemos podido averiguar el m.c.d por simple inspección (fijándonos en los divisores del menor de ellos que también lo sean de los demás), pero habrá otras ocasiones en que no pueda ser así. Para hallar el m.c.d en estos casos podremos emplear dos métodos.

a) Cálculo del m.c.d por el algoritmo de Euclides: En este caso se dividen un número por otro; si sólo son dos números el mayor por el menor y si son varios escogeremos primero los dos menores y dividiremos igualmente el mayor de ellos por el menor. Si la división no es exacta, se divide el divisor anterior por el resto obtenido, realizando esta misma operación hasta que obtengamos un residuo igual a 0. Si sólo hemos buscado el m.c.d de esos dos números, éste será el último divisor empleado. Si se trata de buscar el m.c.d de más de dos números volveremos a realizar esta operación entre el siguiente número y el m.c.d obtenido, y así sucesivamente hasta acabar con todos los números. El último divisor utilizado que nos dé una división exacta será el m.c.d de todos. Veamos un ejemplo:  

Operaciones con polinomios. Regla de Ruffini.

1. Conceptos  generales.

   Antes de entrar de lleno en las operaciones con polinomios, vamos a recordar algunos conceptos básicos referentes a nomenclatura algebraica.

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   Llamaremos término a una expresión algebraica que incluye uno o varios símbolos no separados entre sí por los signos + o -. En la expresión anterior el signo "+" no forma parte del término algebraico, pero nos indica el inicio del mismo.

Ángulos II. Perpendicularidad y paralelismo.

1. Perpendicularidad.

  Dos rectas que se cortan formando cuatro ángulos iguales son perpendiculares entre si. Cada uno de los ángulos creados por la intersección de dichas rectas formará un ángulo recto de 90º. Si las rectas al cortarse no forman ángulos iguales se dice que son oblicuas.

   Como hemos enunciado antes dos rectas perpendiculares lo son entre si, es decir si una recta es perpendicular a otra, esta también es perpendicular a la primera. Este carácter de la perpendicularidad entre dos rectas se llama reciprocidad.

Logaritmos vulgares o de Briggs (de base 10)

1. Introducción a los logaritmos.

   Logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado.

   Así pues el logaritmo de base 3 de 1 es 0, el logaritmo de base 3 de 3 es 1, el logaritmo de base 3 de 9 es 2, ....  Lo expresaremos de la siguiente manera:

Progresiones aritméticas.

1. Introducción.

  Llamamos serie a una sucesión de términos formados de acuerdo con una ley. Al aplicar dicha ley a cada término obtendremos el término siguiente. Así pues si la ley es "sumar 5" y el primer término de la serie es 2 tendremos la serie 2, 7, 12, 17, 22 ....

  Una progresión aritmética es aquella serie en la que cada término se obtiene del anterior sumándole una cantidad constante llamada razón o diferencia.

   La razón se halla restándole a cualquier término el término anterior. Así pues en la progresión aritmética...

                     

  ... para hallar la razón bastaría restar 8 - 6 = 2 por ejemplo. O también 12 - 10 = 2.

Ecuaciones de segundo grado II. Trinomio de segundo grado

1.Introducción a la teoría de las ecuaciones de segundo grado.

   Antes de abordar este capítulo recomiendo primero estudiar el apartado dedicado a las ecuaciones de segundo grado con una incógnita, para su mayor comprensión.

   Como ya deberíamos saber, las ecuaciones generales de segundo grado tienen dos raíces y sólo dos, aunque en algunos casos ambas raíces son iguales. Pero ¿de qué va a depender el valor y carácter de estas raíces?. Lo vemos:

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

1. Concepto general de ecuación de 2º grado.

   Una ecuación de segundo grado es aquella en la que el mayor exponente de su incógnita es dos.

   En los ejemplos anteriores las tres ecuaciones son de segundo grado. Las dos primeras no ofrecen duda. Si simplificamos la tercera veremos que nos queda una ecuación cuyo máximo exponente de la incógnita "x" es dos, por lo que también es una ecuación de segundo grado.

  Las consideraremos completas si tienen un término "x" al cuadrado, uno en "x" y uno independiente de "x". Son incompletas si no tienen término en "x" o término independiente.

   En los ejemplos anteriores la primera y la tercera son ecuaciones de segundo grado completas y la segunda es incompleta, pues carece de término en "x".