Llamamos serie a una sucesión de términos formados de acuerdo con una ley. Al aplicar dicha ley a cada término obtendremos el término siguiente. Así pues si la ley es "sumar 5" y el primer término de la serie es 2 tendremos la serie 2, 7, 12, 17, 22 ....
Una progresión aritmética es aquella serie en la que cada término se obtiene del anterior sumándole una cantidad constante llamada razón o diferencia.
La razón se halla restándole a cualquier término el término anterior. Así pues en la progresión aritmética...
... para hallar la razón bastaría restar 8 - 6 = 2 por ejemplo. O también 12 - 10 = 2.
2. Cálculo del término enésimo.
Vamos a ver la manera de averiguar cualquier término de una progresión aritmética indicando únicamente su posición. Es lo que llamamos calculo del término enésimo.
3. Cálculo del primer término, la razón y el número de términos de una progresión aritmética.
Vamos a deducir las fórmulas para calcular el primer término, la razón y el número de términos de una progresión aritmética. Para ello partiremos de la formula del término enésimo ya deducida.
Vamos a ver varios ejemplos del uso de dichas fórmulas:
4. Suma de los términos de una progresión aritmética.
Supongamos la siguiente progresión aritmética.
La interpolación de medios aritméticos es la intercalación de una cantidad de términos entre dos dados que serán los extremos de una progresión aritmética.
Veamos un ejemplo sencillo:
Vamos a realizar otro un poco más complicado:
Si llamamos r a la razón sabemos que:
b = a + r
o = p - r
Vamos a demostrar que a + p es igual que b + o.
b + o = (a + r) + (p - r) = a + r + p - r = a + p
Lo mismo pasaría con la suma del tercer término y del antepenúltimo término de la progresión aritmética; sería la misma que la del primer y último término pues la diferencia entre el primer término y el tercero sería la misma que entre el último y el antepenúltimo y por lo tanto la suma no variaría.
En resumen podemos decir que...
En toda progresión aritmética la suma de los términos equidistantes a los extremos es igual a la suma de los extremos.
vamos a demostrarlo:
Una vez explicado esto podemos ver que si sumamos el primer término y el último de una progresión aritmética nos dará una cantidad, que llamaremos s, entonces si sumamos seguidamente el segundo término con el penúltimo nos dará como resultado la misma cantidad, s, si sumamos el tercer término con el antepenúltimo el resultado también será s, y así sucesivamente.
La cantidad de sumas que realizaremos (cuyo resultado es s) será la mitad de los términos que tenga la progresión. Es decir que si en la progresión hay 10 términos realizaremos 5 sumas pues para cada una de ellas empleamos dos términos.
¿Cual será entonces la suma de todos los términos de una progresión aritmética?
A simple vista será la suma del primer y último término de la progresión multiplicado por la mitad de términos de la progresión.
¿Y si el número de términos de la progresión es impar?
Pues se le añade la mitad de la suma del primer y último término, osea la mitad de s.
Vamos a deducir la fórmula para hallar la suma de los términos de una progresión aritmética.
Vamos a realizar varios ejercicios respecto a este tema.
5. Interpolación de medios aritméticos.
Llamamos medios aritméticos a los términos de una progresión aritmética que se encuentran entre los dos extremos.La interpolación de medios aritméticos es la intercalación de una cantidad de términos entre dos dados que serán los extremos de una progresión aritmética.
Veamos un ejemplo sencillo:
6. Problemas sobre progresiones aritméticas.
Vamos a realizar tres problemas relacionados con las progresiones aritméticas.
Excente forma de mostrar los conceptos y enseñarlos, gracias.
ResponderEliminarGracias a ti por comentar
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