Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

1. Concepto general de ecuación de 2º grado.

   Una ecuación de segundo grado es aquella en la que el mayor exponente de su incógnita es dos.

   En los ejemplos anteriores las tres ecuaciones son de segundo grado. Las dos primeras no ofrecen duda. Si simplificamos la tercera veremos que nos queda una ecuación cuyo máximo exponente de la incógnita "x" es dos, por lo que también es una ecuación de segundo grado.

  Las consideraremos completas si tienen un término "x" al cuadrado, uno en "x" y uno independiente de "x". Son incompletas si no tienen término en "x" o término independiente.

   En los ejemplos anteriores la primera y la tercera son ecuaciones de segundo grado completas y la segunda es incompleta, pues carece de término en "x".

   El valor para "x" que satisface la ecuación es la raíz. Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces. En el primer ejemplo las raíces de la ecuación serán -3 y -4, pues ambos resultados satisfacen la ecuación. Veámoslo sustituyendo la "x" por dichos valores:

   ¿Pero como podemos averiguar las raíces de una ecuación de segundo grado?.

  La respuesta es utilizando la fórmula:

Donde a es el coeficiente de "x" al cuadrado, b el coeficiente de "x" y c el término independiente.

Vamos a hallar las raíces de la primera ecuación del ejemplo utilizando la fórmula expuesta:

   La siguiente pregunta es: ¿Cómo hemos obtenido la formula para resolver las ecuaciones de segundo grado?. Vamos a contestarlo en el siguiente punto.

2. Deducción de la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado.

    Vamos a deducir la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado. Primero deduciremos la fórmula para las ecuaciones de segundo grado sin coeficiente en el término de "x" al cuadrado:

¿Pero y si el término en "x" al cuadrado tuviera coeficiente?

   Otra manera, a veces más sencilla, de resolver ecuaciones de segundo grado es mediante su factorización. Lo vemos en el siguiente punto.

3. Resolución por factorización.

 Veamos un ejemplo sencillo:

4. Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas.

   Como ya dijimos las ecuaciones incompletas de segundo grado son aquellas que carecen de término en "x" o de término independiente.

   Veamos como encontrar la fórmulas para la resolución de ambos casos.

a) Ecuaciones de segundo grado sin término en "x":

   Si utilizamos la fórmula general y asignamos "b=0" deberíamos llegar a la misma fórmula.

b) Ecuaciones de segundo grado sin término independiente.

   Comprobemos que llegamos a los mismos resultados con la fórmula general igualando el término independiente "c" a 0 (c=0):

5. Problemas de ecuaciones de segundo grado.

   Vamos a realizar varios ejemplos de ecuaciones de segundo grado, empezando por los más sencillos y elevando el grado de dificultad en cada uno de ellos.

   El grado de dificultad se encontrará en el planteamiento del problema, pues una vez resuelto dicho planteamiento, la ejecución será automática (aplicando la fórmula de las ecuaciones de segundo grado, o llegando a ella después de haber simplificado el planteamiento inicial obtenido).

  Como sabemos las ecuaciones de segundo grado nos darán dos resultados (doble valor de la incógnita que satisface la ecuación). Sólo aceptaremos como solución válida los valores de la incógnita que satisfagan las condiciones del problema. 

Ejercicio 1.

   Pedro tiene 3 años más que Juan. El cuadrado de la edad de Pedro aumentado en el cuadrado de la edad de Juan es igual a 317. Hallar ambas edades.

   Vamos a llamar X a la edad de Pedro.

   a) El primer dato que tenemos es:

   Pedro tiene 3 años más que Juan, es decir que la edad de Juan es X (edad de Pedro) menos 3.

   Edad de Juan: x - 3.

   b) El segundo dato que tenemos es:

   El cuadrado de la edad de Pedro aumentado en el cuadrado de la edad de Juan es igual a 317.

   De los dos resultados obtenidos para x, desechamos -11, pues nadie puede tener -11 años. Así pues la edad de Pedro será 14 años y la edad de Juan será 11 años (x - 3).

   Comprobamos que el cuadrado de la edad de Pedro (196), aumentado en el cuadrado de la edad de Juan (121) es igual a 317 (121 + 196 = 317).

Ejercicio 2.

   Una persona compró cierto número de libros por 180€. Si hubiera comprado 6 libros menos por el mismo dinero, cada libro le hubiera costado 1€ más.¿Cuántos libros compró y cuánto le costó cada uno?

   En este problema nos piden dos datos. Por un lado la cantidad de libros y por otro lado el precio de cada uno (todos valen lo mismo). Como sabemos que el valor del total de todos los libros es 180€, dividiendo esta cantidad entre el número total de libros tendremos el valor de cada unidad. Así pues el valor que deberemos hallar, es decir la verdadera incógnita, será la cantidad total de libros a la que llamaremos x.

   Vamos a detallar por partes cada dato que nos dan.

   De los dos valores de "x" obtenidos desechamos -30, pues no se pueden comprar -30 libros y nos quedamos con el resultado de 36. 

  Así pues el total de libros comprados es de 36 unidades. El valor de cada libro será entonces de 5€. O sea...

                                              36 libros x 5€/u = 180€.

  Veamos si se cumple la segunda parte del enunciado del problema.

Si hubiéramos comprado 6 libros menos, es decir 30 libros (36 - 6 = 30), por el mismo precio (180€), cada libro nos hubiera costado 1€ más, es decir 6€ (5€ + 1€ = 6€). O sea, 

                                              30 libros x 6€/u = 180€.

Ejercicio 3.

   Un tren emplea cierto tiempo en recorrer 240 Km. Si la velocidad hubiera sido 20 Km/h. más que la que llevaba hubiera tardado 2 horas menos en recorrer dicha distancia. ¿En que tiempo recorrió los 240 Km?

   En este caso nos piden el tiempo que tardó el tren en recorrer la distancia de 240 Km. Llamaremos a este dato que no conocemos "t" ("t" de tiempo,no siempre la incógnita va ha ser "x").

   El siguiente dato que nos dan es que si la velocidad hubiera sido 20 Km/h. más que la que llevaba hubiera tardado 2 horas menos en recorrer los mismos 240 Km (a más velocidad se tarda menos en llegar a destino). Aquí estamos mezclando datos de espacio (240 Km de distancia), velocidad (20 Km/h más) y tiempo (2 horas menos). ¿Como relacionamos todas estas magnitudes?. Pues mediante la fórmula v = e/t ( la velocidad (v) es igual al cociente entre el espacio recorrido (e) y el tiempo empleado en recorrerlo (t).

   Hemos de notar que no tendremos que convertir magnitudes pues el espacio recorrido está en Km (240 Km), y la velocidad nos las dan en Km/h (20 Km/h.), por lo tanto el tiempo obtenido vendrá determinado en horas.

   

   De los resultados obtenidos nos quedaremos con 6 horas, pues un tren no puede tardar -4 horas en cubrir los 240 Km (hubiera llegado 4 horas antes de salir ¡¡¡ Imposible !!! , por ahora..).

   Así pues el tren recorrió los 240 Km en 6 horas yendo a una velocidad de 40 Km/h.

   Si hubiera ido a 20 Km/h más, o sea a 260 Km/h (240 + 20 = 260), hubiese tardado dos horas menos o sea, hubiera recorrido los 240 Km en 4 horas (6 h - 2 h = 4 h.)

Vamos a comprobarlo aplicando la fórmula de la velocidad. 

Ejercicio 4.

   

   Cuando vendo un televisor por 171€ gano un % sobre el coste igual al número de € que me costo el televisor. ¿Cuánto costó el televisor?.

   Lo primero que tenemos que tener en cuenta es:

   Cual es el precio de venta: 171€

   

   Cual es el precio de coste o compra (lo que nos costó el tv): No lo sabemos por lo que lo      llamaremos C (incógnita).

   Cual es el % sobre el coste ganado con la venta del televisor: C, ya que el enunciado nos    dice que es igual que el coste del televisor.

   Una vez detallados los datos que nos dan hemos de tener en cuenta que:

  El precio de venta de un artículo menos lo que nos costó es el beneficio que obtenemos sobre su venta. Por ejemplo, si yo compro una taza por 4€ y la vendo por 6€ el beneficio obtenido será de 2€.

                                                     

Beneficio = PVP - Coste. (1)

   Para conocer el % de beneficio obtenido sobre el PVP dividiremos el beneficio entre el PVP (Precio Venta Público) y multiplicaremos por 100, para conocer el % de beneficio obtenido sobre el Coste dividiremos el beneficio entre el Coste y multiplicaremos por 100.

   En este caso en el enunciado del ejercicio se nos dice que ganamos el % sobre el coste por lo que utilizaremos la segunda fórmula. Sustituyendo los datos que tenemos sobre la fórmula tendremos:

                                                                                                       

   

                                                  

   De los dos resultados nos quedamos con 90 pues un número negativo no puede ser el precio de compra de un artículo ( sería como decir he comprado el televisor y en vez de pagar, encima me han dado 190€. ¡¡¡sería una pasada!!!).

   Así pues el televisor nos costo 90€ y al venderlo por 171€ hemos obtenido un beneficio sobre el coste del 90%. Si esto es así al aplicar la fórmula (1) tendremos que 171€ menos 90€ nos dará el beneficio obtenido que deberá ser igual al 90% de 90€.

                                                  Beneficio = PVP - Coste

                                                            81€ = 191€ - 90€

                                     90% de 90€ = (90 x 90)/100=8100/100=81€