Radicación algebraica.

1. Concepto general de raíz.

   Llamamos raíz de una expresión algebraica a otra expresión algebraica que elevada a una potencia resulta la expresión primera. 

   El signo utilizado para calcular la raíz de una expresión se llama radical. Dentro de él se coloca la expresión sobre la cual se pretende hallar la raíz. A esta expresión la denominamos cantidad subradical. Encima del radical colocamos el índice que indica la potencia a la que hay que elevar la raíz para que se reproduzca la cantidad subradical. El conjunto de todos estos elementos es lo que llamamos expresión radical. Veamos un ejemplo de todo ello:

     Podríamos decir que la radicación es la operación opuesta a la potenciación.

   El grado de un radical viene expresado por su indice. En el ejemplo anterior el radical sería de tercer grado, pues el índice del radical es 3. Cuando el radical no lleva índice se supone que el índice es 2 y el radical sería de segundo grado.

   Si la raíz de la expresión radical es exacta decimos que la expresión es racional. En cambio, si la raíz no es exacta diremos que la expresión es irracional.

   El signo de las raíces dependerá del índice del radical y del signo de la cantidad subradical. El siguiente cuadro expresa claramente cada situación.

   Veamos varios ejemplos de cada caso:

   1) La raíz de una expresión radical con índice par de una cantidad subradical positiva tiene doble signo (+ y -):

      

   2) Toda raíz de una expresión radical con índice impar tendrá el mismo signo que su expresión subradical:

   3) Toda raíz de una expresión radical con indice par y expresión subradical negativa no se puede extraer, pues como todos sabemos, cualquier expresión, ya sea positiva o negativa, elevada a un número par siempre será positiva. Estas raíces se denominan cantidades imaginarias. Las expresiones que sí tienen solución se llaman por el contrario cantidades reales.

   Cuando trabajamos con radicales siempre nos referiremos a su valor aritmético. Este vendrá dado por su valor real y positivo, si existe o en su defecto su valor real y negativo.

Asi pues:

2. Raíz de una potencia.

  Para extraer la raíz de una potencia se deja la misma base de la potencia y como exponente el cociente entre su exponente y el indice del radical.

   Sabemos que el producto de potencias con el mismo exponente es igual al producto de sus bases elevado al exponente indicado. Así pues, de la misma manera, la raíz de un producto de varias expresiones radicales con el mismo índice es igual a la raíz de grado el índice indicado y el producto de sus cantidades subradicales.

3. Raíz de un monomio.

    Para calcular la raíz de un monomio seguimos las reglas vistas hasta ahora, es decir, primero calculamos la raíz del coeficiente y después dividimos el exponente de cada letra entre el índice del radical. Si el índice es impar la raíz tendrá el mismo signo que la cantidad subradical y si es par y la cantidad subradical positiva tendrá doble signo. Veamos varios ejemplos:

4. Raíz cuadrada de un polinomio.

   Para hallar la raíz cuadrada de un polinomio se seguirán una serie de pasos que pasamos a describir con un ejemplo para su mayor entendimiento.

    Vamos a hallar la raíz cuadrada del siguiente polinomio:

   1) Lo primero de todo es comprobar que el polinomio esté ordenado. En este caso está   

       ordenado con respecto a la "x" de forma descendente, por lo que ya podemos empezar

       a operar para extraer la raíz.

  2) El siguiente paso es hallar la raíz cuadrada de su primer término.

     El resultado será el primer término de la raíz cuadrada.

     Seguidamente elevamos al cuadrado esta raíz y se resta al polinomio.

   3) El próximo paso es bajar los dos siguientes términos del polinomio y dividimos el

       primero por el doble del primer término de la raíz. El resultado obtenido es el segundo 

       miembro de la raíz.

    Juntamos el doble del primer término con el nuevo término obtenido y formamos un 

    binomio. Multiplicamos este binomio por el nuevo término obtenido y el resultado se resta

    de los dos términos que habíamos bajado. Seguidamente bajamos los dos siguientes 

    términos para tener un trinomio.

    

    4) Se divide el primer término del residuo por el doble del primer término de la raíz ya

        hallada hasta ahora. El resultado es el tercer término de la raíz. Formamos un

        trinomio con el doble de la raíz ya hallada y este tercer término y lo multiplicamos por 

        dicho tercer término. El resultado se resta del residuo.

   5) Se sigue el mismo procedimiento teniendo en cuenta que:

       - A cada residuo obtenido se le añadirán tantos términos del polinomio subradical

         como sean necesarios para que el residuo resultante tenga un término más que el 

         residuo de la operación anterior.

      -  Hemos de dividir siempre el primer término del residuo que se obtenga entre el doble

         del primer término de la raíz obtenida hasta el momento, que siempre claro está será

         el mismo. El cociente obtenido será siempre el siguiente término de la raíz.

      - Crearemos siempre un polinomio con el doble de la raíz obtenida hasta el momento y

         el cociente obtenido del apartado anterior que al multiplicarlo por dicho cociente nos

         dará como resultado otro polinomio que se restará al residuo.

    Terminamos de calcular la raíz...

   

Vamos a ver otro ejemplo.