Mi rincón de las matemáticas: Ángulos. Introducción (1)

1. Introducción. Conceptos generales.

Podemos definir un ángulo como el espacio plano que se forma entre dos semirrectas que tienen un mismo origen llamado vértice. Las dos semirrectas constituyen los lados del ángulo.

Existen varias formas de designar a un ángulo; en nuestro caso utilizaremos el signo < seguido de tres letras mayúsculas de manera que la situada en el centro representará el vértice.

En el ejemplo podemos ver el ángulo <ABC ( y otras dos formas más de nombrarlo) que está dividido en dos partes iguales por la semirrecta BD. Esta semirrecta es lo que llamamos bisectriz y tiene su origen en el mismo vértice del ángulo. Podemos decir entonces que <ABD = <DBC y que <ABD + <DBC = <ABC.

2. Medición de ángulos.

Un ángulo se forma al girar una semirrecta sobre su origen. Tomemos como ejemplo un reloj que marca las doce en punto: a medida que avanza el tiempo la aguja de los minutos se separa de la de las horas (supongamos que la de las horas no se mueve porque está rota) creando un espacio entre ambas con una amplitud cada vez mayor. Cuando la aguja de los minutos alcance su posición inicial y se una otra vez con la de las horas habrá formado un ángulo completo.

El valor del ángulo vendrá determinado por la amplitud de la abertura de las agujas en un momento dado. ¿Y como medimos dicha abertura? Pues comparando el ángulo que tenemos con otro que se toma como unidad.

Existen varios sistemas de medición de ángulos, nosotros vamos a describir los dos más importantes.

a) Sistema sexagesimal.

En este sistema consideraremos una circunferencia dividida en 360 partes iguales trazando segmentos desde el centro hasta un punto de la misma. Cada una de estas divisiones formará un ángulo con la amplitud de un grado.

Cada uno de estos grados se pueden dividir en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales más llamadas segundos.

En el ejemplo anterior el ángulo <ABC mediría 57 grados, 25 minutos y 30 segundos.

b) Sistema circular.

En este sistema consideraremos una circunferencia de radio r. Seguidamente trasladaremos la longitud de r sobre la circunferencia formando un arco cuyos extremos al unirlos con el centro dará lugar a un ángulo. La amplitud de dicho ángulo se tomará como unidad de medida y lo llamaremos radián.

Si tenemos en cuenta que la longitud de una circunferencia completa mide 2·π·radios podemos deducir que equivaldrá a 2· π radianes, o sea 6,28 radianes ( 2 · 3,14 = 6,28).

3. Relación entre sistema sexagesimal y circular.

Sabemos que el ángulo de una circunferencia completa mide 360º en sexagesimal, o lo que es lo mismo, 2π rad. en circular. Atendiendo a esta equivalencia podemos establecer la siguiente relación:

4. Tipos de ángulos.

Podemos distinguir distintos tipos de ángulos .

5. Teoremas y demostraciones.

Hemos expuesto los diferentes tipos de ángulos que nos podemos encontrar. Algunas definiciones que hemos dado son simplemente afirmaciones como cuando decimos que un ángulo recto es el ángulo que mide 90º. En otros casos hemos realizado afirmaciones basadas en teoremas matemáticos, como cuando decimos que dos ángulos opuestos por el vértice son iguales o que dos ángulos adyacentes son suplementarios. Seguidamente vamos a demostrar que varias de estas afirmaciones, llamadas teoremas, son ciertas.