Mi rincón de las matemáticas: Segmentos.

1. Introducción. Conceptos primitivos.

Antes de entrar de lleno en el tema de los segmentos, tenemos que abordar una serie de conceptos iniciales, indispensables dentro del estudio de la geometría en general. Es lo que llamamos los conceptos primitivos de la geometría y son el punto, la recta y el plano.

Cada uno de estos tres conceptos no tienen una definición concreta, sino que se adquieren intuitivamente a través de una idea.

1. El punto: La idea o conocimiento de lo que es un punto la obtenemos al observar por ejemplo un grano de arena, la huella que deja la punta de un lápiz en un papel, etc. El punto geométrico es imaginado tan pequeño que carece de dimensión. Como lo podemos representar en el espacio diremos que la cantidad de puntos es infinita.

Los puntos se designan por letras mayúsculas y se representan mediante dos trazos que se cortan, un circulo pequeño o una cruz.

2. La recta: La idea de lo que es una recta la obtenemos al observar un haz luminoso, el canto de una mesa rectangular, un cable estirado, etc. Podemos decir que una recta está formada por un conjunto infinito de puntos alineados que poseen una única dirección y se extiende sin límite en dos sentidos, es decir no tiene ni principio ni fin.

Designamos una recta mediante cualquiera de dos de sus pontos o mediante una letra minúscula. En el ejemplo anterior tenemos la recta AB o la recta r, por ejemplo.

Debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones sobre las rectas y puntos.

Por dos puntos pasa una recta y sólo una.
Dos rectas no pueden tener más que un punto en común.
Por un punto pasan infinitas rectas.
La distancia más corta entre dos puntos es una recta que pase por ellos.

Si sobre una recta señalamos un punto en concreto, P, cada una de las partes en que queda dividida la recta, a ambos lados del punto, se llamará semirrecta.

El punto P es el origen o extremo de ambas semirrectas y cada una de ellas es opuesta a la otra.

Mencionar a parte que la recta es un tipo de línea. También existen lineas curvas, quebradas, etc.

3. El plano: La idea de lo que es un plano nos lo sugiere una pared lisa, una hoja de papel, una mesa, etc. Está formado por conjuntos parciales de infinitos puntos.

Aunque solemos representarlo en geometría como un rectángulo, su extensión es ilimitada. El plano tiene dos dimensiones.

El plano se designa por tres de sus puntos o por una letra griega. En el ejemplo podemos decir que se trata del plano ABC o el plano alfa.

Tendremos en cuenta las siguientes consideraciones sobre los planos, rectas y puntos.

Un plano contiene infinitos puntos.
Un plano contiene infinitas rectas.
Un plano es ilimitado por todas sus partes.
Un plano está determinado por tres puntos no alineados, dos rectas que se cortan, dos rectas paralelas o un punto y una recta.
Si una recta tiene dos puntos contenidos en un plano, toda la recta está contenida en el plano.
Dos planos cualesquiera son figuras iguales.
Por una recta pasan infinitos planos.
Si dos planos tienen un punto común, tienen también una recta común.

Cualquier recta contenida en un plano lo divide en dos partes, a ambos lados de la recta , llamadas semiplanos. Ambos semiplanos son opuestos y cada punto del plano inicial pertenece a un semiplano, menos los de la recta que pertenecen a los dos. La recta que divide al plano en dos semiplanos se llama intersección.

En este caso se dice que los planos ABC y MNP se cortan por la recta QR que es lo que llamamos intersección.

2. Segmentos.

Llamamos segmento a la porción de recta limitada por dos puntos contenidos en ella, llamados extremos. El segmento estará formado por el conjunto de puntos comprendidos entre los extremos incluyendo a éstos.

El segmento se designa por los dos puntos que lo delimitan (AB) con un trazo en su parte superior.

Para medir un segmento lo comparamos con otro, que elegimos como unidad, con el fin de hallar el número de veces que lo contiene. Por regla general y en nuestro caso se utilizarán las unidades de longitud del sistema métrico decimal. Para ello utilizaremos herramientas como el regla, escuadras, etc.

3. Operaciones con segmentos.

Vamos a estudiar la suma, resta, multiplicación y división de segmentos.

a) Suma de segmentos.

Para sumar segmentos llevaremos uno continuación del otro sobre una misma recta a partir de un punto cualquiera de la misma. El origen del primer segmento y el extremo del último formarán el segmento suma.

b) Resta de segmentos.

Para restar dos segmentos se hace coincidir los orígenes de ambos sobre cualquier punto de una recta superponiendo uno encima de otro y el segmento diferencia será el formado por el extremo del segmento sustraendo, que se toma como origen del nuevo segmento, y el extremo del segmento minuendo.

c) Multiplicación de un segmento por un número real.

Para hallar el producto de un segmento por un número real se hace coincidir el segmento indicado, sobre una recta y desde un punto cualquiera, seguidamente tantas veces como indique el número real.

d) División de un segmento por un número entero.

Para dividir un segmento en un número de partes iguales seguiremos el siguiente procedimiento.

4. Comparaciones de segmentos.

Dos segmentos son iguales (=) cuando al superponer uno encima del otro coinciden sus extremos. Si los extremos no coinciden decimos que son desiguales. Cuando esto ocurre habrá un segmento que sea mayor (>) y otro que sea menor (<).