Pondremos especial atención en el planteamiento del problema, principal objetivo de este capítulo, pues aunque hagamos bien las operaciones, si el problema está mal planteado, las soluciones no serán las deseadas.
Hay problemas que se pueden plantear como una ecuación de una incógnita y a la vez, como una ecuación de dos incógnitas. Los cinco primeros problemas los plantearemos como ecuaciones de una incógnita y los tres restantes como ecuaciones de dos incógnitas, ya sean indeterminadas o sistemas.
¡¡¡ Vamos allá !!!
Problema 1.
Hallar 4 números enteros consecutivos cuya suma sea 74.
Lo primero que tenemos que tener claro es ¿qué nos piden? y ¿de que datos disponemos?.
Nos piden que localicemos 4 números enteros.
Los datos que tenemos es que:
a) Son números enteros consecutivos:
Es decir, que habrá un primer número que será el menor, un segundo número que será una unidad mayor que el menor, un tercer número que será dos unidades mayor que el menor y un cuarto y último número que será tres unidades mayor que el menor.
Podríamos plantearlo también al revés, es decir, el primer número que será el mayor, un segundo número que será una unidad menor que el mayor, etc. .....
Vamos a llamar a uno de esos 4 números que no conocemos como incógnita x, en este caso el menor de todos.
número menor = x.
Como el segundo número es una unidad mayor que el menor (x) su valor será x + 1.
Como el tercer número es dos unidades mayor que el menor, (x) su valor será x + 2.
Como el cuarto y último número es tres unidades mayor que el menor (x) su valor será x + 3.
b) Los cuatro números suman 74:
Es decir que el número menor x, más el siguiente (x +1), más el siguiente (x +2), más el último de ellos (x + 3), suman 74.
El planteamiento está claro:
x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 74
Resolvemos la ecuación.
x + x +1 + x + 2 + x + 3 = 74
x + x + x + x = 74 - 1 - 2 - 3
4x = 74 - 6
4x = 68
x = 68 / 4 = 17.
El número menor será x = 17.
El segundo número será x + 1 = 17 + 1 = 18.
El tercer número será x + 2 = 17 + 2 = 19.
El cuarto número será x + 3 = 17 + 3 = 20.
Lo comprobamos: 17 + 18 + 19 + 20 = 74.
El otro posible planteamiento del que hablábamos hubiera sido.
x + (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) = 74
En este caso x es el número mayor. Resolvemos:
x + x + x + x - 1 - 2 - 3 = 74
4x = 74 + 1 + 2 + 3
4x = 80
x = 80 / 4 = 20.
El mayor es igual a x = 20
El anterior es igual a x -1 = 20 - 1 = 19
El siguiente anterior es igual a x - 2 = 20 - 2 = 18
El último y menor es igual a x - 3 = 20 - 3 = 17.
Lo importante, insisto, es plantear bien el problema, da igual el camino escogido, (aquí hemos expuesto dos, pero seguro que encontráis alguno más). Más vale dedicar un poco más de tiempo al planteamiento que a la ejecución de las operaciones, pues como hemos dicho antes, un problema mal planteado pero bien ejecutado nos dará soluciones erróneas.
Problema 2.
La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro, la de Juan el triple de la de Enrique y la de Eugenio el doble de la de Juan . Si las cuatro edades suman 132 años, ¿qué edad tiene cada uno?
En este problema nos piden que hallemos las edades de Enrique, Juan, Pedro y Eugenio.
Los datos son los siguientes:
1. Enrique tiene la mitad de años que Pedro (o Pedro el doble de la enrique).
2. Juan tiene el triple de años que Enrique ( o Enrique un tercio de la de Juan).
3. Eugenio tiene el doble de años que Juan (o Juan la mitad que Enrique).
4. Las cuatro edades suman 132 años.
Si nos fijamos en estos cuatro puntos, nos damos cuenta que no nos dan ningún dato sobre la edad de Pedro, bueno deducimos por el primer enunciado que su edad es el doble de la de Enrique, pero es una deducción nuestra.
Como no sabemos nada sobre la edad de Pedro le asignaremos la incógnita x. Por si mismo x tampoco nos aporta nada sobre su valor, podría ser cualquier número, igual que la edad de Pedro. Asi pues si transponemos los datos que tenemos sabemos que:
Problema 3.
Tenía cierta suma. Gasté los 3/4 en trajes y los 2/3 de lo que me quedó en libros . Si lo que tengo ahora es 38€ menos que los 2/5 de lo que tenía al principio, ¿cuánto tenía al principio?
Nos piden la cantidad de € que teníamos antes de realizar una serie de gastos.
Que datos tenemos sobre los gastos.
1. He gastado los 3/4 de la cantidad inicial en trajes.
2. He gastado 2/3 de lo que quedó después de comprar los trajes en libros.
3. Me ha sobrado, después de los dos gastos anteriores, 2/5 de lo que tenía al principio
menos 38 €.
Como lo que no sabemos es que cantidad teníamos, asignaremos a esta cantidad la
incógnita x.
incógnita x.
Problema 4.
La cifra de las centenas de un número de tres cifras es dos unidades mayor que las unidades y la cifra de las decenas es dos unidades mayor que las centenas. Si lo dividimos entre la suma de sus cifras menos una unidad el cociente que resulta es igual a 42. Hallar el número.
Seguramente que si intentamos resolver este problema por descartes, hallaremos la solución sin tener que pasar por hacer la ecuación, pero este no es el cometido de este capítulo. Así que vamos allá ...
¿Que nos piden?. Hallar un número de tres cifras. Así que tendremos un número compuesto por una cifra para las centenas (C), otra para las decenas (D) y una última para las unidades (U), de manera que:
C · 100 + D · 10 + U = número.
Que datos nos dan:
1. La cifra C es dos unidades mayor que U.
2. La cifra D es dos unidades mayor que C.
3. Si dividimos (100C + 10D + U) entre (C+D+U-1) el cociente es 42.
¿A que dato le asignamos la x?. Podríamos asignárselo al número, que es el resultado que hemos de averiguar, pero los datos que nos dan se basan en las cifras que forman ese número, de manera que lo que realmente hemos de averiguar no es el número sino las cifras que lo forman.
De las tres cifras que forman el número, no nos dan ningún dato sobre las unidades, así que llamaremos x a la cifra de las unidades.
Problema 5.
Un tren A que va a 42 Km/h es seguido 3 horas después por otro tren B que va a 60 Km/h. ¿En cuantas horas el tren B alcanzará al tren A y a qué distancia del punto de partida?.
Para entender mejor el problema y los datos que nos dan vamos a representarlo gráficamente:
¿Que nos piden?
a) La distancia de B al punto de encuentro.
b) El tiempo transcurrido desde el momento actual hasta que B alcanza a A en el punto
de encuentro.
Como los dos trenes se encontrarán en el mismo momento en el punto de encuentro, el tiempo que tardará A en alcanzar el punto de encuentro será el mismo que tardará B en alcanzarlo también. Podemos decir tA = tB
La formula para calcular el tiempo que tarda cada tren en llegar al punto de encuentro será el cociente entre el espacio y la velocidad (t = e/v).
¿ Que datos tenemos?.
1. El tren A va a una velocidad de 42 Km/h.
2. El tren B va a una velocidad de 60 Km/h
Como sabemos que el tren A va delante del B, y que B va más rápido que A, queda
claro que habrá un momento y una distancia en que B alcanzará a A (el punto de encuentro).
3. El tren A empezó a circular 3 horas antes que B a una velocidad de 42 Km por hora,
así que cuando B empezó a circular A ya había recorrido un espacio de 126 Km (42 · 3).
Como lo que no sabemos es la distancia que recorrerán los trenes (sabemos que el tiempo utilizado será el mismo y también conocemos las velocidades), llamaremos x a la distancia que recorrerá A, desde el instante actual (cuando los dos trenes ya están circulando) hasta el punto de encuentro.
Si x es el espacio que recorrerá el tren A hasta el punto de encuentro, x + 126 es el espacio que recorrerá el tren B.
Nota: Podríamos también haber llamado x al espacio que recorrería el tren B hasta el punto de encuentro y x - 126 al espacio que recorrería el tren A.
Problema 6.
Un ganadero compró caballos y vacas por 41.000€. Cada caballo le costó 460€ y cada vaca 440€ ¿Cuántos caballos y vacas compró?.
Vamos a contestar a las dos preguntas básicas.
¿Qué nos piden?. Saber cuantos caballos y vacas compró.
¿Que datos tenemos?.
1. Cada caballo costó 460€
2. Cada vaca costó 440€
3. La compra de todos los caballos más las vacas costó 41.000€
c + v = 41.000
A simple vista podemos observar que nos piden dos variables sobre las que no nos aportan datos suficientes para averiguar un valor concreto. La suma de dos valores (caballos más vacas) pueden tener sumandos diferentes para un mismo resultado. Por ejemplo si la suma de la compra de caballos (c) y la de vacas (v) fuera 6 tendríamos las siguientes posibilidades de compra:
c + v = 6
5 + 1 = 6
4 + 2 = 6
3 + 3 = 6
2 + 4 = 6
1 + 5 = 6
Así pues los valores que podemos tener para cada animal es indeterminado (no hay un valor único para cada uno) y vemos que el valor de uno dependerá del otro (si compró más caballos compraré menos vacas y viceversa).
Así pues asignaremos la x a la cantidad de caballos comprados e y a la cantidad de vacas compradas y como la cantidad de 41.000€ es el valor de la suma de lo que nos costó la compra de caballos y vacas tendremos:
Nota: Para entender el procedimiento de resolución de la ecuación indeterminada, recomiendo ver el capítulo ecuaciones indeterminadas.
Problema 7.
En 5 horas Andrés camina 4 Km más que Bernardo en 4 horas y en 7 horas Andrés camina 2 km más que Bernardo en 6 horas ¿Cuántos Km camina casa uno en 1 hora?.
Nos piden que calculemos lo que anda cada uno en una hora, que es como decir a que velocidad camina cada uno (Km/h).
Los datos que tenemos son:
1. Andrés en 5 horas camina 4 km más que Bernardo en 4 horas.
2. Andrés en 7 horas camina 2 Km más que Bernardo en 6 horas.
Como no tenemos datos sobre los Km que recorren cada uno en el mismo tiempo, no podemos asegurar que la velocidad de ambos sea la misma, por lo que tendremos dos incógnitas. Una la velocidad de Andrés, es decir los Km que hace Andrés en una hora, y otra la velocidad de Bernardo.
Así pues llamaremos x a los Km que hace Andrés en 1 hora e y a los Km que hace Bernardo en una hora.
Problema 8.
El perímetro de una sala rectangular es 56 metros. Si el largo se disminuye en 2 metros y el ancho aumenta en 2 metros, la sala se hace cuadrada. Hallar las dimensiones de la sala.
Nos piden que hallemos las medidas del largo y el ancho de una habitación.
Los datos que nos dan son los siguientes:
1. El perímetro de la sala es 56 metros:
El perímetro de una figura plana es la medida de su contorno. Así pues el perímetro de la habitación, en este caso un rectángulo, será la suma de la medida de sus cuatro lados. Como sabemos un rectángulo es una figura plana con los lados iguales dos a dos. Si llamamos x a su lado largo e y a su lado ancho tendremos que:
2. Si el largo disminuye en 2 metros y el ancho aumenta en 2 metros, la habitación se
hace cuadrada.
¿Cómo afecta esto al perímetro de la habitación y a sus lados?. Vamos a verlo gráficamente.
Hemos de tener en cuenta que para reducir en dos metros el largo de la habitación, debemos restar dos metros de un lado y dos metros más del lado opuesto, es decir, reduciremos el perímetro en 4 metros.
Igualmente para ampliar en dos metros el ancho de la habitación, deberemos añadir dos metros a un lado y dos metros más al lado opuesto, es decir, aumentaremos el perímetro en 4 metros.
Si por un lado aumentamos el perímetro 4 metros y por otro lado lo reducimos 4 metros, el perímetro nos quedará igual, es decir 56 metros.
Podríamos escribir una segunda ecuación de la manera siguiente:
x - 2 + x - 2 + y + 2 + y + 2 = 56
x - 4 + y + 4 = 56
2x + 2y = 56
y por equivalencia de ecuaciones reduciendo:
x + y = 28.
Lo que nos lleva a la ecuación que ya teníamos. ¿Qué ha pasado?
Pues dos cosas básicamente:
a) Al sumar y restar la misma cantidad a una ecuación, en este caso 4, no modificamos
la ecuación, es decir si a un número le sumas 4 y le restas 4 el resultado es el mismo
número.
Pero da igual que las cantidades sean las mismas o no. Si sumamos una cantidad,
por ejemplo 6, y restamos otra diferente, por ejemplo 2, al primer miembro de una
ecuación la diferencia entre ambas (4), se vería compensada al sumarla al perímetro
reflejada en el otro miembro (56 + 4) donde tendríamos 60.
b) Lo más importante: Hemos obviado un dato fundamental y que no hemos utilizado.
La habitación se vuelve cuadrada. O sea que todos sus lados son iguales:
x - 2 = y + 2
x - y = 2 + 2
x - y = 4
Podríamos haber llegado ha esta ecuación planteando el segundo punto
literalmente.
x - 2 + x - 2 + y + 2 + y + 2 = 4 · (y + 2)
Es decir los dos lados largos menos dos metros en cada uno, más los dos lados
anchos más dos metros cada uno, es igual a cualquier lado de la habitación multiplicado
por 4 por ser iguales al ser un cuadrado. El segundo miembro podría haber sido
igualmente 4 · (x - 2)
x - 2 + x - 2 + y + 2 + y + 2 = 4 · (y + 2)
2x - 4 + 2y + 4 = 4y + 8
2x + 2y - 4y = 8 + 4 - 4
2x - 2y = 8
Por equivalencia dividiendo entre 2 ambos miembros ...
x - y = 4
... y llegamos a la misma ecuación anterior.
Si juntamos las dos ecuaciones tendremos el sistema formado por:
No hay comentarios:
Publicar un comentario