Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.

1. Concepto General de ecuación.

     Podemos decir que una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se cumple para determinados valores de dichas incógnitas. Estas incógnitas que no conocemos vienen representadas normalmente por las últimas letras del alfabeto;  x, y, z ... Veamos un ejemplo. 

2x + 3 = 11



  

   En este caso tenemos una ecuación que dice que un número que no conocemos (la incógnita "x") multiplicado por dos y sumándole tres será igual a once.  Esta igualdad sólo se cumplirá si el valor de la incógnita x es 4. 

                                               

                                                             2 · (4) + 3 = 11

                                                                    8 + 3 = 11

                                                                         11= 11

  Así pues 4 es la solución o raíz de la ecuación.

   Vamos a ver de que partes consta una ecuación.

  

• Miembros: Son cada una de las expresiones que se encuentran a cada lado del signo igual.
• Incógnita: Valor desconocido de la ecuación que hemos de hallar para que se cumpla la igualdad..
• Términos: Son cada una de las cantidades que están conectadas a otras por los signos + o -, o que se encuentran solas en un miembro. Los términos que no llevan incógnita se llaman términos independientes.

 

2. Clases de ecuaciones.

     En este tema vamos a tratar las ecuaciones numéricas enteras de primer grado con una incógnita (ufff¡¡¡¡ que largo).Tranquilo vamos a explicar cada concepto.

    Una ecuación numérica es una ecuación que no tiene más letras que las incógnitas. Será entera si ninguno de sus términos tiene denominador. El grado viene dado por el mayor exponente que tiene la incógnita dentro de la ecuación. Así la ecuación:

                                                             4x + 13 = 3x + 16

  es de primer grado porque la incógnita "x" esta elevada a 1 en ambos miembros. La ecuación:

   es de segundo grado porque el mayor exponente de la x es 2. 

  Por último, una ecuación es de una incógnita si solamente aparece, está claro, una sola incógnita, como en el ejemplo expuesto que sólo aparece la "x". Hay que aclarar que en las ecuaciones de los ejemplos anteriores, el valor que hemos de hallar para la "x" del primer miembro será el mismo que para la "x" del segundo miembro. Es decir "x" debe ser sustituida por un único valor con la condición de que se cumpla la igualdad.

  Las ecuaciones de primer grado con una incógnita sólo tienen una solución o raíz.

3. Reglas fundamentales para resolver las ecuaciones.

   Podemos afirmar que si a dos expresiones que tienen el mismo valor  les realizamos operaciones idénticas  los resultados obtenidos son iguales.

   Es decir, que si a los dos miembros de una igualdad les sumamos o restamos una misma cantidad la igualdad subsiste. por ejemplo veamos la igualdad:

                                                             (3 · 5) + 3 = (2 · 10) - 2

                                                         15  +  3  =  20  -  2

                                                                 18  =  18

  Vamos a sumar dos a cada miembro.

                                                (3 · 5) + 3 + 2 = (2 · 10) - 2 + 2

                                                (3 · 5) + 3 + 2 = (2 · 10) - 2 + 2

                                                (3 · 5) + 3 + 2 = (2 · 10)

                                                    (3 . 5) + 5   =    (2 · 10)

                                                       15  +  5   =    20

                                                               20   =   20

  Igualmente si multiplicamos o dividimos los dos miembros por una misma cantidad la igualdad subsiste

                                                      (3 · 5) + 3 = (2 · 10) - 2

                                             2 · [ (3 · 5) + 3 ] = 2 · [ (2 · 10) - 2 ]

                                                    2 · (15 + 3) = 2 · (20 - 2)

                                                            30 + 6 = 40 - 4

                                                                  36 = 36

   y los mismo si elevamos a potencia o extraemos la raíz de ambos miembros.

     Todo esto es fundamental para entender la transposición de términos y de coeficientes en las ecuaciones.

4. La transposición de términos y coeficientes.

    La transposición de términos consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro. ¿Y como realizamos esto?. Pues simplemente cambiándoles el signo. Veámoslo con un ejemplo.

    Tenemos la ecuación:

                                                                 2x - 4 = 8  (1)

    Vamos a pasar el  4 que está restando al termino 2x al segundo miembro a fin de que tengamos todos los términos independientes juntos. Para ello vamos a sumar 4 a ambos miembros porque como hemos visto en el apartado anterior no anularemos la igualdad.

                                                            2x - 4 + 4 = 8 + 4 (2)

    Seguidamente realizamos la operación indicada de los términos independientes del primer miembro, y como -4 + 4 es igual a 0 ambos términos se anulan mutuamente.

                                                                 2x = 8 + 4 (3)

   Si observamos el paso (1) y el paso (3) vemos que el 4 ha cambiado de miembro y de signo.

  Ahora vamos a trasponer el coeficiente del término 2x al segundo miembro a fin de dejar la incógnita sola en el primer miembro (es lo que denominamos despejar la incógnita). Para ello vamos a dividir ambos miembros por 2 porque como sabemos esto no anulará la igualdad. 

  

Como observamos, el  primer miembro de la ecuación podemos simplificarlo anulando el 2 del numerador y el 2 del denominador ...

   Si observamos el paso (3) y el paso (6) vemos que el dos que estaba multiplicando en el primer miembro ha pasado al segundo miembro de la ecuación dividiendo. 

  Así pues, resumiendo, podemos pasar un termino de un miembro a otro cambiándole el signo de delante y el coeficiente que multiplica o divide a un miembro puede pasar al otro miembro realizando la operación contraria.                                 

4. Modo de resolver la ecuaciones de primer grado con una incógnita.

  Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita realizaremos los siguientes pasos:

• Efectuaremos las operaciones indicadas si las hubiera.
• Realizaremos la transposición de términos, conjuntando todos los términos con incógnita en un miembro y todos los términos independientes en el otro.
• Reduciremos los términos semejantes de cada miembro
• Finalmente despejaremos la incógnita dividiendo los dos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.

    Vamos a verlo con varios ejemplos.

    Ejemplo 1.

                                               3x - (2x - 1) = 7x - (3 - 5x) + (-x + 24)

   Primero realizaremos las operaciones indicadas. En este caso efectuaremos las operaciones entre paréntesis.  Recordemos que un signo menos delante de un paréntesis cambia los signos de los términos que se encuentran dentro.

                          

                                                  3x - 2x +1 = 7x - 3 + 5x - x + 24

  Seguidamente realizaremos la transposición de términos, dejando los términos con incógnita en el primer miembro y los términos independientes en el segundo miembro, teniendo en cuenta que hemos de cambiar los signos de cada termino que cambiemos de miembro.

                                                  3x - 2x - 7x - 5x + x = -3 + 24 - 1

   A continuación reduciremos todos los términos semejantes de cada miembro.

                                                          4x - 14x = 24 - 4

                                                                -10x = 20

   Finalmente despejaremos la x

                                                                     x = 20/-10

                                                                     x = -2

Para comprobar que el resultado es el correcto vamos a sustituir el valor de la x obtenido en la resolución de la ecuación (-2) y ver si se cumple la igualdad.

                                     3·(-2) - (2·(-2) - 1) = 7·(-2) - (3 - 5·(-2)) + (-(-2) + 24)

                                                -6 - (-4 - 1) = -14 - (3 + 10) + (2 + 24)

                                                     -6 - (-5) = -14 - (13) + (26)

                                                        -6 + 5 = -14 -13 + 26

                                                        -6 + 5 = -27 + 26

                                                              -1 = -1

   Vemos que se cumple la igualdad por lo que diremos que la raíz de la ecuación es -2

Ejemplo 2.

Ejemplo 3.

En próximos  temas trataremos la resolución de problemas de ecuaciones con una incógnita.