1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Una ecuación de primer grado es aquella en la que el mayor exponente de sus incógnitas es la unidad. Por ejemplo.
De todas las ecuaciones de primer grado expuestas, sólo la tercera y la cuarta son ecuaciones de primer grado con dos incógnitas representadas por la x y la y. En este texto nos centraremos en las ecuaciones indeterminadas de primer grado con dos incógnitas (3). Los sistemas de ecuaciones (4) ,por su extensión, serán tratados en un tema aparte. Suponemos que el lector ya conoce los conceptos principales de lo que es una ecuación y como solucionarlas. Si no es así les recomiendo que vean el enlace ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.
Supongamos que nos dicen que la edad de Pedro más la de Javier suman 24 años, y nos piden que averigüemos dichas edades. A simple vista podemos observar que los datos que nos aportan no son suficientes. Si llamamos x a la edad de Pedro e y a la edad de Javier podemos crear la ecuación..
x + y = 24
y despejando la x obtendremos ....
x = 24 - y
Podemos ver que la edad de pedro (x), dependerá del valor que le demos a la edad de Javier (y). Así pues:
Si la edad de Javier es 1 la edad de Pedro es 23 (x = 24 - 1 = 23)
Si la edad de Javier es 2 la edad de Pedro es 22 (x = 24 - 2 = 22)Si la edad de Javier es 3 la edad de Pedro es 21 (x = 24 - 3 = 21)
.......
Si la edad de Javier es 23 la edad de Pedro es 1 (x = 24 - 23 = 1)
Aunque en este caso los valores de x e y que nos interesan son los enteros y positivos (ya que ni Pedro ni Javier pueden tener menos de 0 años), si nos atenemos simplemente a la ecuación, podríamos continuar con los siguientes pares de valores para las incógnitas x e y.
para y = 25 ; x = -1 para y = -1 ; x = 25
para y = 26 ; x = -2 para y = -2 ; x = 26
etc.... etc.....
Este tipo de ecuaciones en las que los valores de las incógnitas pueden ser infinitos e ilimitados es lo que denominamos ecuaciones indeterminadas.
Consideremos la ecuación expuesta (3) y despejemos la x ..
Podemos observar que para cada valor que le demos a la y obtendremos un valor diferente para la x. Por ejemplo:
para y = 0 ; x = 10 para y = 1 ; x = 6 para y = 2 ; x = 2 para y = 3 ; x = -2
para y = -1 ; x = 14 para y = -2 ; x = 18
para y = -3 ; x = 22 para y = -4 ; x = 26
etc.......
Así pues dando diferentes valores a y podemos obtener infinitos valores para la x.
3. Resolución de ecuaciones indeterminadas de primer grado con dos incógnitas.
Aunque el espectro de soluciones para este tipo de ecuaciones es muy amplio, diríamos infinito, es más interesante las soluciones que nos puedan ofrecer dentro del rango de valores enteros y positivos (como en el caso de las edades de Pedro y Javier), lo que nos dejará un número de soluciones limitado. Veamos por ejemplo como resolver la ecuación (3) del ejemplo paso a paso para soluciones enteras y positivas.
2x + 8y = 20.
En primer lugar despejamos la incógnita de menor coeficiente. En este caso la x.
Como los valores de x e y deben ser enteros y positivos si x es entero y positivo su igualdad 10 - 4y también deberá serlo.
x = 10 - 4y = entero positivo
10 - 4y > 0 < x
Si resolvemos la inecuación...
10 - 4y > 0
-4y > -104y < 10
y < 10/4
Así pues, y tiene que ser menor que 2,5. Para que sea positivo tendrá que ser además mayor que 0, y como además ha de ser entero, los únicos valores posibles para y serán entonces 1 y 2 . Los pares de resultados posibles son pues:
y = 1 ; x = 10 - 4 · (1) = 10 - 4 = 6
y = 2 ; x = 10 - 4 · (2) = 10 - 8 = 2
Veamos un ejemplo un poco más complejo.
Supongamos que tenemos 139€ y queremos comprar bolígrafos que valen 6€ y cuadernos que valen 11€. ¿Cuántos bolígrafos y cuadernos podremos comprar sin que nos sobre ningún Euro?.
La suma de los euros que nos cueste los bolígrafos más los cuadernos deberá ser exactamente 139€. Como cada bolígrafo son 6€ y cada cuaderno 11€ tendremos:
Cantidad de bolígrafos = x
Precio por bolígrafo = 6€Valor en euros de todos los bolígrafos = 6€ · x (6x).
Cantidad de cuadernos = y
precio por cuaderno = 11€Valor en euros de todos los cuadernos = 11€ · y (11y).
Valor de los bolígrafos más los cuadernos = 6x + 11y = 139.
Despejamos la incógnita de menor coeficiente.
Como los valores que buscamos deben ser enteros, si x es entera, la expresión del segundo miembro (139 - 11y) / 6 también deberá ser entera.
El primer paso será descomponer los numeradores 139 y 11y en dos sumandos cada uno, uno de los cuales sea el mayor múltiplo del denominador (6):
Sabemos que si multiplicamos los dos miembros de una ecuación por una cantidad cualquiera, los valores de las incógnitas no varían.
Así pues, multiplicaremos el numerador del segundo miembro por un número tal que al dividir el coeficiente resultante de la incógnita y por el denominador 6, nos de un residuo de 1, lo que nos permitirá dejar la incógnita y sin coeficiente (o con coeficiente 1 que es lo mismo). En este caso el número será 5.
Volvemos a ver que si x e y son enteros, el primer miembro de la ecuación será un número entero, lo que implica que el segundo miembro de la ecuación también lo sea, debido a la propiedad de igualdad que existe entre ellos. Así pues, podemos decir que..
Vamos a llamar n a este número entero y vamos a despejar la incógnita y..
Disponemos ya de una parte de las solución general de la ecuación. Seguidamente sustituiremos el valor de y en la ecuación principal.
Ya tenemos la otra parte de la solución general. Juntando ambos resultados tenemos...
x = 14 + 11n
y = 5 - 6n
Donde n, como ya dijimos es un número entero.Seguidamente daremos valores a n, empezando por 0, enteros positivos y por último enteros negativos, desechando todas las soluciones que nos den un valor para x o y que sean negativos, pues los resultados han de ser enteros y positivos.
para n = 0 ; x = 14 ; y = 5
para n = 1 ; x = 25 ; y = -1 (desechado).
Para n = 1 la incógnita y toma el valor de -1 por lo que desechamos la solución y como que para cualquier valor de n mayor que 1 el resultado de y seguirá siendo negativo, no importa que sigamos con los enteros positivos.
para n = -1 ; x = 3 ; y = 11
para n = -2 ; x = -8 ; y = 17 (desechado)
Para n = -2 la incógnita x toma el valor de -8 por lo que desechamos la solución y como que para cualquier valor de n menor que -2 el resultado de x seguirá siendo negativo, no importa que sigamos con los enteros negativos.
Los pares de soluciones válidas son:
x = 14 ; y = 5
x = 3 ; y = 11
es decir que podremos comprar...
14 bolígrafos y 5 cuadernos.. (14 · 6€ + 5 · 11€ = 84€ + 55€ = 139€)
3 bolígrafos y 11 cuadernos.. ( 3 · 6€ + 11 · 11€ = 18€ + 121€ = 139€)
4. Representación gráfica de una ecuación indeterminada de primer grado.
Podemos representar las soluciones de una ecuación indeterminada a través de un sistema rectangular de coordenadas cartesianas.
Volvamos a nuestra famosa ecuación (3).
2x + 8y = 20
Vamos a tener en cuenta un detalle que hasta ahora no habíamos considerado, el de las ecuaciones equivalentes. Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen una de la otra mediante operaciones efectuadas en ambos miembros. Estas operaciones no modificarán el resultado de las incógnitas que seguirán siendo las mismas. Así si dividimos por 2 ambos miembros de nuestra ecuación obtendremos la equivalente simplificada ...
x + 4y = 10
Despejando la x tendremos...
x = 10 - 4y
Las ecuaciones indeterminadas de primer grado con dos incógnitas están clasificadas dentro de las ecuaciones lineales, porque gráficamente están representadas por una línea recta. Y como para conocer la disposición de una línea recta solo hace falta saber la localización de dos de los puntos por los que pasa, bastará con averiguar dos valores de cada incógnita. Por ejemplo.
para y = 0 : x = 10 - 4 · (0) = 10 - 0 = 10.
para y = 3 : x = 10 - 4 · (3) = 10 - 12 = -2.
Cada punto dentro del gráfico está representado por una coordenada x, que indica la distancia a la que se encuentra el punto del eje y, y una coordenada y que indica la distancia a la que se encuentra el punto del eje x, y se representa como (x, y).
Las coordenadas que tenemos son (10, 0) y (-2 , 3).
Vamos a representar las dos coordenadas, con un punto rojo, dentro del eje cartesiano y las uniremos a través de una recta.
La línea roja representa la solución grafica de la ecuación y cualquier punto sobre ella, representada por la distancia al eje de coordenada x e y, será una solución válida para la ecuación que representa.
Por ejemplo vemos que el punto azul está incluido en la recta y pasa por las coordenadas ( 6, 1). Esto significa 6 para la x y 1 para la y.
Vamos a comprobarlo en la ecuación sustituyendo el valor de y por 1, lo que nos debería dar un resultado para la x de 6. ...
x + 4y = 10
x + 4 · (1) = 10
x + 4 = 10
x = 10 - 4
x = 6
¡¡ Correcto !!.
Vamos a hacer la misma comprobación con el punto verde (-10, 5) y veremos si al sustituir la y por 5 la x toma el valor de -10.
x + 4y = 10
x + 4 · (5) = 10
x + 20 = 10
x = 10 - 20
x = -10
Vamos a realizar ahora la representación gráfica de la ecuación del problema del apartado anterior que volvemos a enunciar.
Supongamos que tenemos 139€ y queremos comprar bolígrafos que valen 6€ y cuadernos que valen 11€. ¿Cuántos bolígrafos y cuadernos podremos comprar sin que nos sobre ningún Euro?.
Como ya explicamos el planteamiento de la ecuación es:
6x + 11y = 139
Despejando x..
Vamos a dar dos valores a y cualesquiera, diferentes a las soluciones del problema, para hallar la recta de la función.
Como podemos observar las soluciones del problema
x = 3 ; y =11 ; coordenada ( 3, 11)
x = 14 ; y = 5 ; coordenada (14, 5)
quedan representadas en el gráfico sobre la línea de la ecuación.
Cuando se puede decir que la solución a una ecuación es indeterminada ?
ResponderEliminarCuando tiene infinitas soluciones.... o sea para todos los valores de n hay un valor para x e y.
EliminarExacto, tal como explica Emil, cuando la incógnita puede tener valores infinitos e ilimitados.
EliminarExcelente.... muchisimas gracias!!!!
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